Qual é a posição relativa de λ e λ^prime nos seguintes casos:
λ: x^2+y^2=16
e λ^prime: x^2+y^2+6 x-4 y+4=0

Passo 1

O enunciado dá duas circunferências
lambda: x^2+y^2=16
e
lambda': x^2+y^2+6x-4y+4=0,
e pede a posição relativa entre elas.
Conteúdo: posição relativa de duas circunferências.
Teoria: sejam duas circunferências com centros C1,C2 e raios r1,r2. Definimos a distância entre centros
d = dist(C1,C2)
Então vale:
d > r1 + r2 impliessem pontos comuns (externas),
d = r1 + r2 impliestangência externa, ê
|r1-r2| < d < r1 + r2 impliesduas interseções, çõ
d = |r1-r2| impliestangência interna, ê
d < |r1-r2| impliesuma contida na outra sem interseção çã

Passo 2

Identificamos lambda. A equação
x^2+y^2=16
é a forma padrão com centro
C1 = (0,0)
e raio
r1 = 4

Passo 3

Para lambda' completamos quadrados em x e y:
x^2+6x+y^2-4y+4=0
(x+3)^2-9 + (y-2)^2-4 +4 = 0
(x+3)^2 + (y-2)^2 = 9
Logo o centro é
C2 = (-3,2)
e o raio
r2 = 3

Passo 4

Calculamos a distância entre C1 e C2:
d = raiz(-3-0)^2 + (2-0)^2 = raiz9 + 4 = raiz13

Passo 5

Comparamos raiz13 com r1+r2=4+3=7 e |r1-r2|=|4-3|=1.
Observa-se
1 < raiz13 < 7,
logo cai no caso de duas interseções.

Resposta

As circunferências lambda e lambda' se intersectam em dois pontos (são secantes).

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