Qual é a probabilidade de uma mão de pôquer com sete cartas conter
pares de cada três tipos diferentes e uma única carta de um quarto tipo?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao sortearmos sete cartas de um baralho padrão de 52 cartas, obter exatamente três pares de valores distintos e uma carta solteira de um quarto valor. O conteúdo aqui é contagem de combinações em probabilidade clássica.

Passo 2

O total de mãos possíveis de sete cartas é dado por
N_{\text{total}} = \binom{52}{7}.

Passo 3

Para contar as mãos com três pares e um solteiro, seguimos estes passos combinatórios:
  1. Escolher os três valores que formarão pares: \binom{13}{3}.
  2. Para cada um desses valores, escolher 2 das 4 cartas de mesmo valor: \bigl(\binom{4}{2}\bigr)^3.
  3. Escolher o valor do solteiro entre os 10 valores restantes: \binom{10}{1}.
  4. Escolher 1 das 4 cartas desse valor: \binom{4}{1}.
    Portanto, o número de mãos favoráveis é
N_{\text{fav}} = \binom{13}{3}\,\bigl(\binom{4}{2}\bigr)^3\,\binom{10}{1}\,\binom{4}{1}.

Passo 4

Calculando cada fator: \binom{13}{3}=286, \binom{4}{2}=6 logo \bigl(\binom{4}{2}\bigr)^3=216, \binom{10}{1}=10, \binom{4}{1}=4.
Assim
N_{\text{fav}} = 286 \times 216 \times 10 \times 4 = 2\,471\,040.

Passo 5

A probabilidade pedida é
P = \frac{N_{\text{fav}}}{N_{\text{total}}} = \frac{2\,471\,040}{\binom{52}{7}} = \frac{2\,471\,040}{133\,784\,560} \approx 0{,}01848.

Resposta

A probabilidade é
\frac{2\,471\,040}{133\,784\,560}\approx0{,}01848\quad(\text{cerca de }1{,}848\%).

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