Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\int \frac{\ln x^{2}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{\ln x^{2}}{x}\,dx.
O conteúdo principal é usar propriedades de logaritmo e substituição. Vamos usar que \ln(x^{2})=2\ln|x| e depois a substituição t=\ln|x|.

Passo 2

Usando \ln(x^{2})=2\ln|x|, a integral vira
\int \frac{\ln x^{2}}{x}\,dx = \int \frac{2\ln|x|}{x}\,dx = 2\int \frac{\ln|x|}{x}\,dx.

Passo 3

Para
I=\int \frac{\ln|x|}{x}\,dx
fazemos a substituição
t=\ln|x|,\qquad dt=\frac{1}{x}\,dx.
Assim
I=\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}+C =\frac{(\ln|x|)^{2}}{2}+C.

Passo 4

Voltando à integral original,
\int \frac{\ln x^{2}}{x}\,dx =2I =2\cdot\frac{(\ln|x|)^{2}}{2}+C =(\ln|x|)^{2}+C.

Passo 5

Verificação por derivação: seja
F(x)=(\ln|x|)^{2}.
Então
F'(x) =2\ln|x|\cdot\frac{1}{x} =\frac{2\ln|x|}{x} =\frac{\ln(x^{2})}{x},
que é exatamente o integrando. Logo o resultado está correto.

Resposta

\int \frac{\ln x^{2}}{x}\,dx=(\ln|x|)^{2}+C.

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