Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\int x \sqrt{2 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\sqrt{2x+1}\,dx
e em seguida verificar o resultado derivando-o. O método mais direto aqui é usar substituição, transformando a raiz em uma potência simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x+1,
logo
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2},
e também expressamos x em função de u:
x = \frac{u-1}{2}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int x\sqrt{2x+1}\,dx = \int \frac{u-1}{2}\,u^{\frac12}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{4}\int (u-1)u^{\frac12}\,du = \frac{1}{4}\int\bigl(u^{\tfrac32}-u^{\tfrac12}\bigr)\,du.
Agora integramos termo a termo:
\frac{1}{4}\int u^{\tfrac32}\,du = \frac{1}{4}\cdot \frac{u^{\tfrac52}}{\tfrac52} = \frac{1}{10}u^{\tfrac52},
\frac{1}{4}\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{4}\cdot \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{1}{6}u^{\tfrac32}.
Portanto a primitiva em u é
\frac{1}{10}u^{\tfrac52}-\frac{1}{6}u^{\tfrac32}+C.

Passo 4

Voltando à variável x (lembre que u=2x+1), obtemos
\int x\sqrt{2x+1}\,dx = \frac{1}{10}(2x+1)^{\tfrac52} -\frac{1}{6}(2x+1)^{\tfrac32}+C.

Passo 5

Verificação por diferenciação: defina
F(x)=\frac{1}{10}(2x+1)^{\tfrac52} -\frac{1}{6}(2x+1)^{\tfrac32}.
Então
F'(x) =\frac{1}{10}\cdot \frac{5}{2}(2x+1)^{\tfrac32}\cdot2 -\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{2}(2x+1)^{\tfrac12}\cdot2 =\frac{1}{2}(2x+1)^{\tfrac32} -\frac{1}{2}(2x+1)^{\tfrac12}.
Fatorando (2x+1)^{\tfrac12}:
F'(x) =\frac{1}{2}(2x+1)^{\tfrac12}\bigl((2x+1)-1\bigr) =\frac{1}{2}(2x+1)^{\tfrac12}\cdot2x =x\sqrt{2x+1},
que é exatamente o integrando original. Confirmado!

Resposta

\boxed{\int x\sqrt{2x+1}\,dx =\frac{1}{10}(2x+1)^{\tfrac52} -\frac{1}{6}(2x+1)^{\tfrac32}+C.}

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