Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos
e y, cúspides e tangentes verticais.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
analisando domínio, monotonicidade, concavidade, pontos notáveis (máximos, mínimos, inflexão), assíntotas, interceptos e eventual esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda para monotonicidade e concavidade, além de limites para assíntotas.
Passo 2
Domínio e interceptos:
O denominador nunca é zero para
, logo o domínio é
.
Interseção com o eixo : em
O denominador
Interseção com o eixo
logo o ponto
.
Interseção com o eixo : não existe, pois
para todo
.
Assíntotas horizontais:
Interseção com o eixo
Assíntotas horizontais:
Não há assíntotas verticais (domínio inteiro). Não há cúspides nem tangentes verticais.
Passo 3
Monotonicidade:
Calculemos
Calculemos
Como
e
para todo
, temos
em
.
Portanto, a função é crescente em e não é decrescente em nenhum intervalo.
Portanto, a função é crescente em
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão:
Derivando de novo,
Derivando de novo,
O sinal de
vem de
:
- Se
, então e : concavidade para cima. - Se
, então e : concavidade para baixo.
Emhá troca de sinal, logo ponto de inflexão em .
Passo 5
Esboço do gráfico:
A curva é uma “S” logistic, começando próxima de quando
, cruzando
com concavidade para cima antes de
, trocando para concavidade para baixo depois, e se aproximando de
quando
. As linhas horizontais
e
são assíntotas.
A curva é uma “S” logistic, começando próxima de
Resposta
Crescente em
Decrescente: nenhum
Concavidade para cima em
Concavidade para baixo em
Ponto de inflexão:
Assíntotas horizontais: e
Assíntotas verticais: nenhuma
Intercepto com :
Intercepto com : nenhum
Máximos e mínimos: nenhum
Cúspides ou tangentes verticais: nenhuma
Decrescente: nenhum
Concavidade para cima em
Concavidade para baixo em
Ponto de inflexão:
Assíntotas horizontais:
Assíntotas verticais: nenhuma
Intercepto com
Intercepto com
Máximos e mínimos: nenhum
Cúspides ou tangentes verticais: nenhuma