Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
f(x)=\frac{6}{1+e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x) = \frac{6}{1 + e^{-x}}
analisando domínio, monotonicidade, concavidade, pontos notáveis (máximos, mínimos, inflexão), assíntotas, interceptos e eventual esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda para monotonicidade e concavidade, além de limites para assíntotas.

Passo 2

Domínio e interceptos:
O denominador 1+e^{-x} nunca é zero para x\in\mathbb{R}, logo o domínio é \mathbb{R}.
Interseção com o eixo y: em x=0
f(0)=\frac{6}{1+e^{0}}=\frac{6}{2}=3,
logo o ponto (0,3).
Interseção com o eixo x: não existe, pois f(x)>0 para todo x.
Assíntotas horizontais:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{6}{1+e^{-x}}=0,
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{6}{1+e^{-x}}=6.
Não há assíntotas verticais (domínio inteiro). Não há cúspides nem tangentes verticais.

Passo 3

Monotonicidade:
Calculemos
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(6(1+e^{-x})^{-1}\Bigr) =6\cdot(-1)(1+e^{-x})^{-2}\cdot(-e^{-x}) =\frac{6\,e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}.
Como e^{-x}>0 e (1+e^{-x})^{2}>0 para todo x, temos f'(x)>0 em \mathbb{R}.
Portanto, a função é crescente em (-\infty,\infty) e não é decrescente em nenhum intervalo.

Passo 4

Concavidade e ponto de inflexão:
Derivando de novo,
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{6\,e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}\Bigr) =\frac{6\,e^{-x}\bigl(e^{-x}-1\bigr)}{(1+e^{-x})^{3}}.
O sinal de f''(x) vem de e^{-x}-1:
  • Se x<0, então e^{-x}>1 e f''(x)>0: concavidade para cima.
  • Se x>0, então e^{-x}<1 e f''(x)<0: concavidade para baixo.
    Em x=0 há troca de sinal, logo ponto de inflexão em \bigl(0,3\bigr).

Passo 5

Esboço do gráfico:
A curva é uma “S” logistic, começando próxima de y=0 quando x\to-\infty, cruzando (0,3) com concavidade para cima antes de x=0, trocando para concavidade para baixo depois, e se aproximando de y=6 quando x\to+\infty. As linhas horizontais y=0 e y=6 são assíntotas.

Resposta

Crescente em (-\infty,\infty)
Decrescente: nenhum
Concavidade para cima em (-\infty,0)
Concavidade para baixo em (0,\infty)
Ponto de inflexão: (0,3)
Assíntotas horizontais: y=0 e y=6
Assíntotas verticais: nenhuma
Intercepto com y: (0,3)
Intercepto com x: nenhum
Máximos e mínimos: nenhum
Cúspides ou tangentes verticais: nenhuma

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