As progressões aritméticas 5,8,11, ldots e 3,7,11, ldots têm 100 termos cada uma. Determine o número de termos iguais nas duas progressões.

Passo 1

O enunciado nos dá duas progressões aritméticas de razão r1=3 e r2=4, cada uma com 100 termos, e pede quantos termos coincidem em ambas. Para resolver, vamos usar os termos gerais de cada PA e encontrar a interseção dos conjuntos de termos.

Passo 2

O termo geral da primeira PA é
an = 5 + 3(n-1) = 3n + 2,
com n = 1,2,dots,100.
O termo geral da segunda PA é
bm = 3 + 4(m-1) = 4m - 1,
com m = 1,2,dots,100.

Passo 3

Para um valor estar em ambas as progressões, deve valer
3n + 2 = 4m - 1,
que leva à equação
3n = 4m - 3

Passo 4

Analisando módulo 3 na equação 4m - 3 equiv 0 pmod3, obtemos m equiv 0 pmod3, logo m = 3k para algum inteiro k. Substituindo em 3n = 4m - 3 vem
3n = 4(3k) - 3 = 12k - 3 = 3(4k - 1),
portanto
n = 4k - 1

Passo 5

Precisamos que m e n fiquem entre 1 e 100.
Da condição 1 <= m = 3k <= 100 segue 1 <= k <= 33.
Da condição 1 <= n = 4k - 1 <= 100 segue 2 <= 4k <= 101, ou seja 1 <= k <= 25.
Logo k varia de 1 a 25, gerando exatamente 25 valores comuns.

Resposta

25

Exercícios de Livros Relacionados