As progressões aritméticas
e
têm 100 termos cada uma. Determine o número de termos iguais nas duas progressões.
Passo 1
O enunciado nos dá duas progressões aritméticas de razão
e
, cada uma com 100 termos, e pede quantos termos coincidem em ambas. Para resolver, vamos usar os termos gerais de cada PA e encontrar a interseção dos conjuntos de termos.
Passo 2
O termo geral da primeira PA é
com
.
O termo geral da segunda PA é
O termo geral da segunda PA é
com
.
Passo 3
Para um valor estar em ambas as progressões, deve valer
que leva à equação
Passo 4
Analisando módulo 3 na equação
, obtemos
, logo
para algum inteiro
. Substituindo em
vem
portanto
Passo 5
Precisamos que
e
fiquem entre
e
.
Da condição segue
.
Da condição segue
, ou seja
.
Logo varia de
a
, gerando exatamente 25 valores comuns.
Da condição
Da condição
Logo
Resposta
25