Determine uma P.A. de 60 termos em que a soma dos 59 primeiros é 12 e a soma dos 59 últimos é 130.

Passo 1

O enunciado pede uma progressão aritmética (P.A.) de 60 termos cujo soma dos 59 primeiros é 12 e a soma dos 59 últimos é 130. Como sabemos, uma P.A. é definida pelo primeiro termo a1 e pela razão d. Vamos usar a fórmula da soma de termos de P.A. para montar um sistema e determinar a1 e d.

Passo 2

Para a soma dos 59 primeiros termos aplicamos
S59 ;=;592l(2a1+(59-1)dr) ;=;12
Isso dá a equação
592,(2a1+58d)=12

Passo 3

A soma dos 59 últimos termos é a soma de a2 até a60. Podemos usar
sumk=2^60ak ;=;130
Mas sumk=2^60ak=59,a1+59cdot602,d, pois há 59 termos começando em a1 e avançando d até a60. Logo
59,a1+1770,d=130

Passo 4

Vamos escrever as duas equações de forma simples. Da soma dos 59 primeiros:
592(2a1+58d)=12 Longrightarrow 2a1+58d=2459
Da soma dos 59 últimos:
59,a1+1770,d=130 Longrightarrow a1+30d=13059
Também, dividindo a primeira por 2,
a1+29d=1259

Passo 5

Subtraindo
;a1+29d=1259
de
;a1+30d=13059,
obtemos
d=130-1259=11859=2
Substituindo d=2 em a1+29d=tfrac1259:
a1+58=1259 Longrightarrow a1=1259-58 =-341059

Resposta

A P.A. de 60 termos é dada por
an=a1+(n-1)d com a1=-341059, d=2

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