Determine o valor de x tal que os números 2 x, 3 x e x^2 sejam termos consecutivos e distintos de uma progressão aritmética.

Passo 1

O enunciado pede x tal que os números 2x, 3x e x^2 sejam termos consecutivos e distintos de uma progressão aritmética. Vamos usar a definição de PA: as diferenças entre termos consecutivos são iguais.

Passo 2

Sejam
a1 = 2x, a2 = 3x e a3 = x^2.
A diferença comum d é
d = a2 - a1 = 3x - 2x = x
e também deve satisfazer
d = a3 - a2 = x^2 - 3x
Portanto impomos
x^2 - 3x = x

Passo 3

Resolvendo a equação
x^2 - 3x - x = 0 Longrightarrow x^2 - 4x = 0 Longrightarrow x(x-4)=0,
obtêm-se as raízes
,x=0 e ,x=4.

Passo 4

Como os termos devem ser distintos, x=0 gera os três termos iguais a 0, o que não vale. Para x=4 obtemos
2x=8,3x=12, x^2=16,
que são distintos e formam uma PA de razão 4.

Resposta

x=4

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