PROJETO DE EQUIPE. Integração. (a) Comparação. Escreva um curto relatório comparando os pontos essenciais dos dois métodos de integração.
(b) Comparação. Avalie \int_{C} f(z) d z pelo Teorema 1 e verifique o resultado pelo Teorema 2, onde:
(c) Deformação contínua do caminho. Faça experiências com uma família de caminhos com pontos extremos em comum, digamos, z(t)=t+i a sen t, 0 \leqq t \leqq \pi, sendo a um parâmetro real. Integre as funções não-analíticas ( \operatorname{Re} z, \operatorname{Re}\left(z^{2}\right) etc.) e discuta como o resultado depende de a. Então, considere algumas funções analíticas de sua própria escolha. (Mostre os detalhes do que fizer.) Faça comparações e comentários.
(d) Deformação contínua do caminho. Escolha uma outra família, por exemplo, as semi-elipses z(t)=a \cos t+i \operatorname{sen} t,-\pi / 2 \leqq t \leqq \pi / 2 e faça experimentos como em (c).
(i) f(z)=z^{4} e C é o semicírculo |z|=2 de -2 i a 2 i no meioplano direito.
(ii) f(z)=\mathrm{e}^{2 z} \mathrm{e} C é o caminho mais curto entre 0 e 1+2 i.

Passo 1

O enunciado é um projeto em quatro partes (a)—(d) sobre integrais de funções complexas:
\bullet (a) pede um relatório comparando os pontos essenciais de dois métodos de integração em \mathbb{\mathbb{C}} (integração por parametrização versus aplicação do teorema do antiderivada).
\bullet (b) solicita a avaliação de \displaystyle\int_C f(z)\,dz por dois teoremas (Teorema 1 e Teorema 2), mas não informa qual é f nem qual é o caminho C.
\bullet (c) e (d) pedem “experiências” de deformação contínua de caminho para funções não-analíticas e analíticas, mas também sem definir exatamente quais funções nem parâmetros, só dão exemplos genéricos.
\bullet Por fim, há dois exemplos numéricos (i) e (ii) com f(z)=z^4 sobre um semicírculo e f(z)=e^{2z} sobre o segmento entre 0 e 1+2i.

Passo 2

Para resolver (b) pelo Teorema 1 é preciso conhecer a parametrização do caminho C e a expressão de f(z); pelo Teorema 2 (o teorema do antiderivada) exige-se que f seja analítica num domínio que contenha C e os pontos extremos. Sem esses dados, não há como:
– escrever \,z(t), calcular z'(t) nem montar \int f(z(t))\,z'(t)\,dt,
– nem verificar existência e forma de uma antiderivada F(z) tal que F' = f.

Resposta

Não há dados suficientes para executar o item (b) (nem para (c) e (d)), pois a função f(z) e/ou o caminho C não foram especificados. Solicite a definição explícita de f e de C para prosseguirmos.

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