PROJETO DE EQUIPE. Integração. (a) Comparação. Escreva um curto relatório comparando os pontos essenciais dos dois métodos de integração.
(b) Comparação. Avalie
pelo Teorema 1 e verifique o resultado pelo Teorema 2, onde:
(c) Deformação contínua do caminho. Faça experiências com uma família de caminhos com pontos extremos em comum, digamos,
sen
, sendo
um parâmetro real. Integre as funções não-analíticas (
etc.) e discuta como o resultado depende de
. Então, considere algumas funções analíticas de sua própria escolha. (Mostre os detalhes do que fizer.) Faça comparações e comentários.
(d) Deformação contínua do caminho. Escolha uma outra família, por exemplo, as semi-elipses
e faça experimentos como em (c).
(i)
e
é o semicírculo
de
a
no meioplano direito.
(ii)
é o caminho mais curto entre 0 e
.
(b) Comparação. Avalie
(c) Deformação contínua do caminho. Faça experiências com uma família de caminhos com pontos extremos em comum, digamos,
(d) Deformação contínua do caminho. Escolha uma outra família, por exemplo, as semi-elipses
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado é um projeto em quatro partes (a)—(d) sobre integrais de funções complexas:
(a) pede um relatório comparando os pontos essenciais de dois métodos de integração em
(integração por parametrização versus aplicação do teorema do antiderivada).
(b) solicita a avaliação de
por dois teoremas (Teorema
e Teorema
), mas não informa qual é
nem qual é o caminho
.
(c) e (d) pedem “experiências” de deformação contínua de caminho para funções não-analíticas e analíticas, mas também sem definir exatamente quais funções nem parâmetros, só dão exemplos genéricos.
Por fim, há dois exemplos numéricos (i) e (ii) com
sobre um semicírculo e
sobre o segmento entre
e
.
Passo 2
Para resolver (b) pelo Teorema
é preciso conhecer a parametrização do caminho
e a expressão de
; pelo Teorema
(o teorema do antiderivada) exige-se que
seja analítica num domínio que contenha
e os pontos extremos. Sem esses dados, não há como:
– escrever , calcular
nem montar
,
– nem verificar existência e forma de uma antiderivada tal que
.
– escrever
– nem verificar existência e forma de uma antiderivada
Resposta
Não há dados suficientes para executar o item (b) (nem para (c) e (d)), pois a função
e/ou o caminho
não foram especificados. Solicite a definição explícita de
e de
para prosseguirmos.