(UF-PE) Entre as propriedades listadas abaixo, quais se aplicam às cevianas e aos pontos notáveis de um triângulo escaleno?
0-0) 0 ponto de interseção entre suas bissetrizes internas é o centro de uma circunferência circunscrita ao triângulo.
1-1) As medianas encontram-se em um ponto que dista
do seu comprimento em relação a cada vértice do triângulo.
2-2) O baricentro é o centro de uma circunferência tangente aos lados do triângulo.
3-3) As mediatrizes se encontram em um ponto equidistante dos vértices do triângulo.
4-4) O baricentro, o circuncentro e o ortocentro determinam uma reta.
0-0) 0 ponto de interseção entre suas bissetrizes internas é o centro de uma circunferência circunscrita ao triângulo.
1-1) As medianas encontram-se em um ponto que dista
2-2) O baricentro é o centro de uma circunferência tangente aos lados do triângulo.
3-3) As mediatrizes se encontram em um ponto equidistante dos vértices do triângulo.
4-4) O baricentro, o circuncentro e o ortocentro determinam uma reta.
Passo 1
O enunciado pede para identificar, entre cinco afirmações sobre cevianas e pontos notáveis de um triângulo escaleno, quais são verdadeiras. Vamos usar o conhecimento dos seguintes conceitos:
- Bissetriz interna e incentro (centro da circunferência inscrita).
- Mediana e baricentro (centroide).
- Mediatriz e circuncentro (centro da circunferência circunscrita).
- Retas notáveis e a reta de Euler (colinearidade de baricentro, circuncentro e ortocentro).
Passo 2
Analisando a afirmação 0-0:
“A interseção das bissetrizes internas é o centro de uma circunferência circunscrita.”
Na verdade, a interseção das bissetrizes internas é o incentro, que é o centro da circunferência inscrita, não da circunscrita.
Logo, 0-0 é falsa.
“A interseção das bissetrizes internas é o centro de uma circunferência circunscrita.”
Na verdade, a interseção das bissetrizes internas é o incentro, que é o centro da circunferência inscrita, não da circunscrita.
Logo, 0-0 é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação 1-1:
“As medianas encontram-se em um ponto que dista do seu comprimento em relação a cada vértice do triângulo.”
De fato, o baricentro divide cada mediana na razão a partir do vértice, isto é, a distância do vértice ao baricentro é
do comprimento da mediana.
Logo, 1-1 é verdadeira.
“As medianas encontram-se em um ponto que dista
De fato, o baricentro divide cada mediana na razão
Logo, 1-1 é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação 2-2:
“O baricentro é o centro de uma circunferência tangente aos lados do triângulo.”
O centro da circunferência tangente aos lados (incentro) não é o baricentro, mas sim o ponto de interseção das bissetrizes internas.
Logo, 2-2 é falsa.
“O baricentro é o centro de uma circunferência tangente aos lados do triângulo.”
O centro da circunferência tangente aos lados (incentro) não é o baricentro, mas sim o ponto de interseção das bissetrizes internas.
Logo, 2-2 é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação 3-3:
“As mediatrizes se encontram em um ponto equidistante dos vértices do triângulo.”
As mediatrizes (perpendicular bisectors) se cruzam no circuncentro, que é equidistante dos três vértices, sendo o centro da circunferência circunscrita.
Logo, 3-3 é verdadeira.
“As mediatrizes se encontram em um ponto equidistante dos vértices do triângulo.”
As mediatrizes (perpendicular bisectors) se cruzam no circuncentro, que é equidistante dos três vértices, sendo o centro da circunferência circunscrita.
Logo, 3-3 é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação 4-4:
“O baricentro, o circuncentro e o ortocentro determinam uma reta.”
Esses três pontos notáveis estão alinhados na reta de Euler do triângulo.
Logo, 4-4 é verdadeira.
“O baricentro, o circuncentro e o ortocentro determinam uma reta.”
Esses três pontos notáveis estão alinhados na reta de Euler do triângulo.
Logo, 4-4 é verdadeira.
Resposta
1-1), 3-3) e 4-4)