(UF-MS) Determine a área, em centímetros quadrados, interior a um triângulo acutângulo de ângulos conhecidos, 60^circ e 75^circ, e lado comum adjacente a esses ângulos medindo 35 cm .
(Use: cos 30^circ=0,8 ; cos 45^circ=0,7 ; e sen 105^circ=0,9.)

Passo 1

O enunciado pede a área de um triângulo acutângulo em que conhecemos dois ângulos, A=60^circ e B=75^circ, e o lado comum a esses ângulos, c=35 cm. O conteúdo principal que vamos usar é trigonometria de triângulos: o Teorema dos Senos e a fórmula da área em função de lados e seno de ângulo.

Passo 2

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^circ, o terceiro ângulo C vale
C = 180^circ - (A + B) = 180^circ - (60^circ + 75^circ) = 45^circ

Passo 3

Pelo Teorema dos Senos temos
asin A ;=;bsin B;=;csin C
Daqui
a = c,sin Asin C, b = c,sin Bsin C
A área do triângulo pode ser escrita como
Área = tfrac12,a,b,sin C = tfrac12;gl(c,sin Asin Cgr);gl(c,sin Bsin Cgr);sin C = c^2,sin A,sin B2,sin C Á

Passo 4

Substituímos c=35 cm e usamos as aproximações dadas:
sin A=sin60^circ=cos30^circ=0,8,
sin B=sin75^circ=sin105^circ=0,9,
sin C=sin45^circ=cos45^circ=0,7.
Fica
Área = 35^2 times 0,8 times 0,92 times 0,7 = 1225 times 0,721,4 = 8821,4 = 630 Á

Resposta

A área do triângulo é 630 cm ^2.

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