Provar a desigualdade
, sem referência à desigualdade de Jensen, mostrando que a
igualdade existirá sòmente se
. (Esta desigualdade estabelece que a média geométrica
é menor do que a média aritmética correspondente.)
igualdade existirá sòmente se
Passo 1
O enunciado pede para provar, para
e
, que
e mostrar que só ocorre igualdade se e só se
. O método será definir uma função de
cuja concavidade nos dê diretamente a desigualdade.
Passo 2
Definimos
Note que a desigualdade desejada é equivalente a
.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
. Primeiro
Em seguida
Como
e
para
, temos
. Logo
é estritamente côncava em
.
Passo 4
Para qualquer função estritamente côncava
em
vale
Aqui
logo o lado direito é zero e obtemos
. Isso dá exatamente
Passo 5
Como
é estritamente côncava, a única forma de ter
em algum
é se
for constante, o que implica
e daí
, ou seja
. Portanto a igualdade ocorre só quando
.
Resposta
com igualdade se e somente se
.