Provar a desigualdade
a, b>0,0<theta<1, sem referência à desigualdade de Jensen, mostrando que a
igualdade existirá sòmente se a=b. (Esta desigualdade estabelece que a média geométrica 6, i-6 é menor do que a média aritmética correspondente.)

Passo 1

O enunciado pede para provar, para a,b>0 e 0<theta<1, que
a^theta,b^1-theta;<=;theta,a;+;(1-theta),b
e mostrar que só ocorre igualdade se e só se a=b. O método será definir uma função de theta cuja concavidade nos dê diretamente a desigualdade.

Passo 2

Definimos
g(theta);=;theta,a;+;(1-theta),b;-;a^theta,b^1-theta
Note que a desigualdade desejada é equivalente a g(theta)>=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas de g. Primeiro
g'(theta) =;a ;-;b ;-;ddthetal(a^thetab^1-thetar) =;a-b ;-;l(ln a-ln br),a^thetab^1-theta
Em seguida
g''(theta) =-l(ln a-ln br)^2,a^thetab^1-theta
Como a^thetab^1-theta>0 e l(ln a-ln br)^2>0 para aneq b, temos g''(theta)<0. Logo g é estritamente côncava em [0,1].

Passo 4

Para qualquer função estritamente côncava g em [0,1] vale
g(theta);>=;(1-theta),g(0);+;theta,g(1)
Aqui
g(0)=0e g(1)=0,
logo o lado direito é zero e obtemos g(theta)>=0. Isso dá exatamente
a^thetab^1-theta;<=;theta,a+(1-theta),b

Passo 5

Como g é estritamente côncava, a única forma de ter g(theta)=0 em algum thetain(0,1) é se g for constante, o que implica g''(theta)=0 e daí ln a-ln b=0, ou seja a=b. Portanto a igualdade ocorre só quando a=b.

Resposta

a^thetab^1-theta;<=;theta,a+(1-theta),b,
com igualdade se e somente se a=b.

Exercícios de Livros Relacionados