Sabendo que (a, b, c, d) é P.A… provar que (d+3 b)(d-3 b)+(a+3 c)(a-3 c)= 2(a d-9 b c).

Soluçāo:

Se (a, b, c, d) é uma PA de razão r, então:
d-a=3 r=3(b-c) \Rightarrow(d-a)^{2}=9(b-c)^{2}\left({ }^{*}\right).
Desta forma: (d+3 b)(d-3 b)+(a+3 c)(a-3 c)=d^{2}-9 b^{2}+a^{2}-9 c^{2}=
=\left(a^{2} \div d^{2}\right)-9\left(b^{2}+c^{2}\right)=\left[(d-a)^{2}+2 a d\right]-9\left[(c-b)^{2}+2 b c\right]=
=2 a d-18 b c+(d-a)^{2}-9(c-b)^{2}=2 a d-18 b c

Passo 1

O enunciado afirma que (a,b,c,d) é uma progressão aritmética (P.A.) e pede para provar que
(d+3b)(d-3b)+(a+3c)(a-3c)=2\bigl(ad-9bc\bigr).
Para isso, vamos usar duas ideias principais: a fatoração da diferença de quadrados e as relações entre termos de uma P.A.

Passo 2

Primeiro, aplique a diferença de quadrados em cada um dos produtos:
(d+3b)(d-3b)=d^2-9b^2, \quad (a+3c)(a-3c)=a^2-9c^2.
Logo, a soma fica
(d+3b)(d-3b)+(a+3c)(a-3c) = d^2+a^2-9\bigl(b^2+c^2\bigr).

Passo 3

Reescreva d^2+a^2 e b^2+c^2 de modo a evidenciar produtos:
d^2+a^2=(d-a)^2+2ad, \qquad b^2+c^2=(c-b)^2+2bc.
Como (a,b,c,d) é P.A. de razão r, temos
d-a=3r \quad\text{e}\quad c-b=r.
Portanto
(d-a)^2=9r^2 \quad\text{e}\quad (c-b)^2=r^2.

Passo 4

Substituindo essas expressões em d^2+a^2-9(b^2+c^2), obtemos:
(d-a)^2+2ad-9\bigl[(c-b)^2+2bc\bigr] =9r^2+2ad-9r^2-18bc =2ad-18bc =2\bigl(ad-9bc\bigr).
Isso coincide exatamente com o que queríamos provar.

Resposta

Concluímos que
(d+3b)(d-3b)+(a+3c)(a-3c)=2\bigl(ad-9bc\bigr).

Exercícios de Livros Relacionados