Prove que:
19^19+69^69 é divisível por 44 ;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
19^19 + 69^69
é divisível por 44.
Como 44 = 4 times 11 e gcd(4,11)=1, basta provar ao mesmo tempo que
19^19 + 69^69equiv 0 (bmod;4)
e
19^19 + 69^69equiv 0 (bmod;11)

Passo 2

Verificando a congruência módulo 4:
19 equiv 3pmod4, 69 equiv 1pmod4
Logo
19^19 equiv 3^19pmod4, 69^69 equiv 1^69equiv 1pmod4
Como 3 é ímpar, 3^19equiv 3pmod4. Portanto
19^19 + 69^69 equiv 3 + 1 =4 equiv 0pmod4

Passo 3

Verificando a congruência módulo 11:
19 equiv 8pmod11, 69 equiv 3pmod11
Pela pequena teorema de Fermat ( a^10equiv1pmod11 se gcd(a,11)=1), temos
8^19 = 8^10cdot1 +9 = 8^10cdot 8^9 equiv 1cdot 8^9 pmod11, 3^69 = 3^10cdot6 +9 = 3^10cdot 3^9 equiv 1cdot 3^9 pmod11
Calculemos 8^9pmod11 e 3^9pmod11:
8^2 =64equiv9, 8^4equiv9^2=81equiv4, 8^8equiv4^2=16equiv5, 8^9equiv5cdot8=40equiv7pmod11,
3^2 =9, 3^4equiv9^2=81equiv4, 3^8equiv4^2=16equiv5, 3^9equiv5cdot3=15equiv4pmod11
Logo
19^19 + 69^69 equiv 8^19 + 3^69 equiv 7 + 4 =11 equiv 0pmod11

Passo 4

Concluímos que
19^19 + 69^69equiv0pmod4 e 19^19 + 69^69equiv0pmod11,
logo é múltiplo de 4 e de 11. Como 4 e 11 são coprimos, segue que
19^19 + 69^69equiv0pmod44

Resposta

44midl(19^19+69^69r).

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