Prove que:
binomn1+2binomn2+3binomn3+ldots+nbinomnn=n cdot 2^n-1

Solução

Sabemos que:
(1+x)^n=binomn0+binomn1 x+binomn2 x^2+ldots+binomnn x^n
Derivando membro a membro em relação a x, temos:
n cdot(1+x)^n-1=binomn1+2binomn2 x+3binomn3 x^2+ldots+nbinomnn x^n-1
Fazendo x=1 nesta igualdade, resulta:
n cdot 2^n-1=binomn1+2binomn2+3binomn3+ldots+nbinomnn, que é o que queríamos de-

Passo 1

O enunciado pede provar que
sumk=1^nkbinomnk=ncdot2^n-1
O conteúdo necessário é o Teorema Binomial e a operação de derivação de séries de potências.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, para todo x vale
(1+x)^n=sumk=0^nbinomnkx^k

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x, usamos ddxx^k=k,x^k-1 e obtemos
ddx(1+x)^n =n,(1+x)^n-1 =sumk=1^nk,binomnk,x^k-1

Passo 4

Bastando agora escolher x=1, temos
ncdot2^n-1 =sumk=1^nk,binomnk,1^k-1 =sumk=1^nk,binomnk,
que é exatamente a identidade desejada.

Resposta

sumk=1^nkbinomnk=ncdot2^n-1

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