Os três primeiros coeficientes do desenvolvimento de (x^2+12 x)^n estão em progressão aritmética. Determine o valor de n.

Passo 1

O enunciado pede para expandirmos
l(x^2+tfrac12xr)^n
pelo Teorema Binomial e analisar os três primeiros coeficientes do desenvolvimento. Vamos usar a fórmula
(x+y)^n=sumk=0^nbinomnkx^,n-ky^,k

Passo 2

Na nossa expansão tomamos xmapsto x^2 e ymapsto tfrac12x. O termo geral (índice k) é
binomnk,(x^2)^,n-kl(tfrac12xr)^k =binomnk,tfrac12^k,x^,2(n-k)-k =binomnk,tfrac12^k,x^,2n-3k
Os três primeiros coeficientes correspondem a k=0,1,2.

Passo 3

Calculamos explicitamente:
a0=binomn0tfrac12^0=1, a1=binomn1tfrac12^1=n2, a2=binomn2tfrac12^2=tfracn(n-1)24=n(n-1)8
Queremos que a0,a1,a2 estejam em progressão aritmética, isto é,
2a1=a0+a2
Substituindo:
2cdotn2=1+n(n-1)8 Longrightarrow n=1+n(n-1)8
Multiplicando tudo por 8:
8n=8+n(n-1) Longrightarrow n^2-9n+8=0 Longrightarrow nin1,8

Passo 4

Para que os três primeiros coeficientes sejam realmente os de k=0,1,2 não nulos, precisamos de n>=2. Esse requisito elimina n=1. Logo, a solução não-trivial é

Resposta

n=8

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