Uma pessoa possui um certo número m de objetos distintos. Agrupando-os 3 a 3 de modo que cada grupo difira do outro por possuir pelo menos um objeto diferente, obtém-se o mesmo número de grupos se os juntar 5 a 5, do mesmo modo. Determine binomm3.

Passo 1

O enunciado diz que, para um certo inteiro m, o número de maneiras de escolher 3 objetos dentre m é o mesmo que o número de maneiras de escolher 5 objetos dentre m. Isso envolve coeficientes binomiais e a relação
binomm3 ;=;binomm5
Vamos usar a definição em termos de fatoriais para transformar essa igualdade em uma equação algébrica.

Passo 2

Escrevendo cada binomial com fatoriais, temos
m!3!,(m-3)! ;=;m!5!,(m-5)!
Como m! é positivo para todo m>=5, podemos eliminar m! de ambos os lados.

Passo 3

Após cancelar m!, obtemos
13!,(m-3)! ;=;15!,(m-5)! Longrightarrow 5!,(m-5)! ;=;3!,(m-3)!
Agora note que (m-3)!=(m-3)(m-4)(m-5)!. Substituindo e simplificando fatoriais, fica
120,(m-5)! ;=;6,(m-3)(m-4),(m-5)! Longrightarrow 20 ;=;(m-3)(m-4)

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
(m-3)(m-4)=20 ;Longrightarrow; m^2-7m+12-20=0 ;Longrightarrow; m^2-7m-8=0,
temos
m=7pmraiz49+322=7pm92
A solução inteira e maior que 5 é m=8.

Passo 5

Finalmente, calculamos
binom83=8cdot7cdot63cdot2cdot1=56

Resposta

56

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