Uma pessoa possui um certo número
de objetos distintos. Agrupando-os 3 a 3 de modo que cada grupo difira do outro por possuir pelo menos um objeto diferente, obtém-se o mesmo número de grupos se os juntar 5 a 5, do mesmo modo. Determine
.
Passo 1
O enunciado diz que, para um certo inteiro
, o número de maneiras de escolher 3 objetos dentre
é o mesmo que o número de maneiras de escolher 5 objetos dentre
. Isso envolve coeficientes binomiais e a relação
Vamos usar a definição em termos de fatoriais para transformar essa igualdade em uma equação algébrica.
Passo 2
Escrevendo cada binomial com fatoriais, temos
Como
é positivo para todo
, podemos eliminar
de ambos os lados.
Passo 3
Após cancelar
, obtemos
Agora note que
. Substituindo e simplificando fatoriais, fica
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
temos
A solução inteira e maior que 5 é
.
Passo 5
Finalmente, calculamos