Prove que a soma das medianas de um triângulo é menor que o perímetro e maior que o semiperímetro.

Passo 1

Temos um triângulo de lados a,b,c e medianas ma,mb,mc. Queremos provar que
a+b+c2<ma+mb+mc<a+b+c
Para isso usaremos a expressão
ma=tfrac12raiz2b^2+2c^2-a^2
e a desigualdade triangular.

Passo 2

Para a desigualdade superior note que
4ma^2=2b^2+2c^2-a^2
Como em qualquer triângulo a>|b-c| temos
2b^2+2c^2-a^2<2b^2+2c^2-(b-c)^2=b^2+c^2+2bc=(b+c)^2,
logo 2ma<b+c e
ma<tfracb+c2
Análogamente mb<tfraca+c2 e mc<tfraca+b2. Somando,
ma+mb+mc<(b+c)+(a+c)+(a+b)2=a+b+c

Passo 3

Para a desigualdade inferior seja D,E,F os pontos médios de BC,CA,AB e P o baricentro. Então
EP=tfrac13mb, FP=tfrac13mc, EF=tfrac12c
Pela desigualdade triangular em triang<= EPF:
EP+PF>EFimpliestfracmb+mc3>tfrac c2implies mb+mc>tfrac3c2
Analogamente mc+ma>tfrac3b2 e ma+mb>tfrac3a2. Somando as três:
2(ma+mb+mc)>tfrac3(a+b+c)2implies ma+mb+mc>tfrac3(a+b+c)4>tfraca+b+c2

Resposta

a+b+c2<ma+mb+mc<a+b+c

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