Prove que a soma das medianas de um triângulo é menor que o perímetro e maior que o semiperímetro.
Passo 1
Temos um triângulo de lados
e medianas
. Queremos provar que
Para isso usaremos a expressão
e a desigualdade triangular.
Passo 2
Para a desigualdade superior note que
Como em qualquer triângulo
temos
logo
e
Análogamente
e
. Somando,
Passo 3
Para a desigualdade inferior seja
os pontos médios de
e
o baricentro. Então
Pela desigualdade triangular em
:
Analogamente
e
. Somando as três: