Nas seguintes funções em

Passo 1

O enunciado dá fcolon Rto[0,infty) definida por
f(x)= raizx-3,&x>=3,[6pt] (3-x)^3,&x<3
O objetivo é encontrar a inversa de cada ramo, sabendo que para existir inversa única precisamos de injetividade em cada parte.]

Passo 2

Analisamos a injetividade de cada ramo:\r
f1(x)=raizx-3(x>=3) \r
é estritamente crescente em [3,infty) e sua imagem é [0,infty); \r
f2(x)=(3-x)^3(x<3) \r
é estritamente decrescente em (-infty,3) e sua imagem é (0,infty).

Passo 3

Invertendo o ramo y=raizx-3 com y>=0, temos\r
y^2=x-3 \r
logo\r
x=y^2+3 \r
Portanto a inversa desse ramo é\r
f1^-1(y)=y^2+3, y>=0

Passo 4

Invertendo o ramo y=(3-x)^3 com y>0, extraímos raiz cúbica:\r
y^1/3=3-x \r
logo\r
x=3-y^1/3 \r
Portanto a inversa desse ramo é\r
f2^-1(y)=3-y^1/3, y>0

Passo 5

Repare que para cada y>0 existem duas pré-imagens distintas (uma em cada ramo), de modo que f não é globalmente invertível como função única. Entretanto, suas restrições são invertíveis com as fórmulas acima.

Resposta

A inversa de cada ramo é\r
f1^-1(y)=y^2+3, y>=0,
f2^-1(y)=3-raiz[3]y, y>0

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