Sejam a1 e t elementos de Z e consideremos x=a1 t+1. Mostre que para todo n >= 0 existe an in Z de modo que x^n=an t+1.

Passo 1

O enunciado dá a1,tinZ e define
x = a1t + 1
Queremos mostrar que para todo n>=0 existe aninZ tal que
x^n = an,t + 1
O método escolhido será indução em n.

Passo 2

Caso base n=0. Temos
x^0 = 1 = 0cdot t + 1
Logo basta tomar a0=0inZ.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha, para algum n>=0, que já exista aninZ com
x^n = an,t + 1

Passo 4

Considere x^n+1 = xcdot x^n. Usando a hipótese indutiva,
x^n+1 = (a1t + 1),(ant + 1) = a1an,t^2 + (a1 + an),t + 1
Como t^2=tcdot t, podemos agrupar:
a1an,t^2 + (a1 + an),t = l(a1an,t + a1 + anr),t
Definindo
an+1 = a1an,t + a1 + an,
vemos que an+1inZ e
x^n+1 = an+1,t + 1
Isso completa o passo indutivo.

Resposta

Por indução, para todo n>=0 existe aninZ tal que
x^n = an,t + 1

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