Prove que cos 20^circ é irracional.
Resolução: Consideremos a identidade cos 3 theta=4 cos ^3 theta-3 cos theta. Se theta=20^circ, fazendo cos theta=u=cos 20^circ, entāo
12=cos 60^circ=4 u^3-3 u
e portanto 8 u^3-6 u-1=0. Assim, u=cos 20^circ é raiz de f(x)=8 x^3-6 x-1. Mas fazendo 2 x=y, entāo 2 u é raiz de g(y)=y^3-3 y-1. Como g(1)=-3 e g(-1)=+1 entāo g não admite raízes racionais e portanto 2 u é irracional. Daí u também é irracional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que cos20^circ é irracional. Vamos usar a identidade de ângulo triplo na função cosseno e, em seguida, aplicar o teste da raiz racional em um polinômio obtido.

Passo 2

A identidade de triplo ângulo para o cosseno é
cos3theta = 4cos^3theta - 3costheta
Tomando theta = 20^circ e definindo
u = cos20^circ,
obtemos
cos60^circ = tfrac12 = 4u^3 - 3u

Passo 3

Reescrevendo tfrac12 = 4u^3 - 3u em forma de polinômio de coeficientes inteiros,
8u^3 - 6u - 1 = 0
Agora fazemos a substituição
y = 2u,
para obtermos um polinômio mónico em y. Como u = y/2, ao inserir na equação acima vem
8l( y2r)^3 - 6l( y2r) - 1 = 0 Longrightarrow y^3 - 3y - 1 = 0

Passo 4

Para o polinômio
g(y) = y^3 - 3y - 1,
o teste da raiz racional diz que qualquer raiz racional, em forma de fração irreduzível p/q, tem p dividindo o termo constante -1 e q dividindo o coeficiente líder 1. Logo os únicos candidatos são y = pm1. Verificamos:
g(1) = 1 - 3 - 1 = -3 neq 0, g(-1) = -1 + 3 - 1 = 1 neq 0
Não há raízes racionais, portanto y é irracional.

Passo 5

Como y = 2u é irracional, se u fosse racional então 2u também seria racional, o que é contradição. Conclui-se que u é irracional.

Resposta

cos20^circ é irracional.

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