Prove que
é irracional.
Resolução: Consideremos a identidade
. Se
, fazendo
, entāo
e portanto
. Assim,
é raiz de
. Mas fazendo
, entāo
é raiz de
. Como
e
entāo g não admite raízes racionais e portanto 2 u é irracional. Daí u também é irracional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é irracional. Vamos usar a identidade de ângulo triplo na função cosseno e, em seguida, aplicar o teste da raiz racional em um polinômio obtido.
Passo 2
A identidade de triplo ângulo para o cosseno é
Tomando
e definindo
obtemos
Passo 3
Reescrevendo
em forma de polinômio de coeficientes inteiros,
Agora fazemos a substituição
para obtermos um polinômio mónico em
. Como
, ao inserir na equação acima vem
Passo 4
Para o polinômio
o teste da raiz racional diz que qualquer raiz racional, em forma de fração irreduzível
, tem
dividindo o termo constante
e
dividindo o coeficiente líder
. Logo os únicos candidatos são
. Verificamos:
Não há raízes racionais, portanto
é irracional.
Passo 5
Como
é irracional, se
fosse racional então
também seria racional, o que é contradição. Conclui-se que
é irracional.