Determine o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a.

Passo 1

Temos um triângulo retângulo com catetos b e c e hipotenusa a. Queremos o raio r do círculo inscrito. Para isso, vamos usar a fórmula geral do raio de um círculo inscrito em qualquer triângulo, que é
r = As,
onde A é a área do triângulo e s é o semiperímetro.

Passo 2

A área do triângulo retângulo é
A = b,c2,
e o semiperímetro é
s = a + b + c2

Passo 3

Substituindo na fórmula r = As, obtemos
r = b,c2a + b + c2 = b,ca + b + c

Passo 4

Para escrever uma forma mais simples, use o Teorema de Pitágoras ,a^2 = b^2 + c^2. Note que
(b + c)^2 - a^2 = b^2 + 2,b,c + c^2 - (b^2 + c^2) = 2,b,c,
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b,c = (b + c)^2 - a^22
Então
r = b,ca + b + c = (b + c)^2 - a^22a + b + c = (b + c - a)(b + c + a)2,(a + b + c) = b + c - a2

Resposta

r = b + c - a2

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