Prove que se dois eventos A e B são independentes, então seus complementares também são eventos independentes.
Solução:
A^{C} \cap B^{C}=(A \cup B)^{C} \Rightarrow p\left(A^{C} \cap B^{C}\right)=p\left[(A \cup B)^{C}\right]=1-p(A \cup B) \Rightarrow p\left(A^{C} \cap B^{C}\right)=1-p(A)-p(B)+p(A \cap B)
Se A e B são independentes, então p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B) :
p\left(A^{C} \cap B^{C}\right)=1-p(A)-p(B)+p(A) \cdot p(B)=(1-p(A))(1-p(B))=p\left(A^{C}\right) \cdot p\left(B^{C}\right), que prova que A^{C} e B^{C} são eventos independentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se dois eventos A e B satisfazem
p(A\cap B)=p(A)\,p(B),
então seus complementares A^{C} e B^{C} também são independentes, isto é,
p\bigl(A^{C}\cap B^{C}\bigr)=p\bigl(A^{C}\bigr)\,p\bigl(B^{C}\bigr).
Para isso usaremos a lei de De Morgan, a fórmula da probabilidade da união e a definição de probabilidade de evento complementar.

Passo 2

Pela lei de De Morgan temos
A^{C}\cap B^{C} = (A\cup B)^{C}.
Logo, pela propriedade de complemento,
p\bigl(A^{C}\cap B^{C}\bigr) = p\bigl((A\cup B)^{C}\bigr) = 1 - p(A\cup B).

Passo 3

Aplicamos a fórmula da probabilidade da união:
p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).
Substituindo em 1 - p(A\cup B) obtemos
p\bigl(A^{C}\cap B^{C}\bigr) =1 - \bigl[p(A)+p(B)-p(A\cap B)\bigr] =1 - p(A) - p(B) + p(A\cap B).

Passo 4

Como A e B são independentes, p(A\cap B)=p(A)\,p(B). Portanto
p\bigl(A^{C}\cap B^{C}\bigr) =1 - p(A) - p(B) + p(A)\,p(B) =(1-p(A))\,(1-p(B)).
Mas 1-p(A)=p(A^{C}) e 1-p(B)=p(B^{C}), então
p\bigl(A^{C}\cap B^{C}\bigr) =p(A^{C})\,p(B^{C}).

Resposta

Concluímos que
p\bigl(A^{C}\cap B^{C}\bigr)=p(A^{C})\,p(B^{C}),
logo A^{C} e B^{C} são eventos independentes.

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