Prove que, se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro.
Passo 1
Resumindo o que queremos provar: temos dois planos
e
tais que
. Mostraremos que, se um terceiro plano
é perpendicular a
, então
também é perpendicular a
. O conteúdo é geometria no espaço, e vamos usar a interpretação vetorial de plano (normal ao plano) e as propriedades de paralelismo e perpendicularidade de vetores.
Passo 2
Definição vetorial de um plano: cada plano
pode ser associado a um vetor normal
. Dois vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro, e são perpendiculares quando seu produto escalar é zero. Em geometria espacial, vale:
se e somente se
.
se e somente se
.
Passo 3
Como temos
, aplicando a primeira equivalência, concluímos que
Ou seja, existe escalar
tal que
Passo 4
Por hipótese, o plano
é perpendicular a
. Usando a segunda equivalência, isso significa
ou seja,
Passo 5
Agora, como
é colinear com
, qualquer vetor perpendicular a
também é perpendicular a
. Em símbolos:
Passo 6
Como
, concluímos que
. Pelo critério de perpendicularidade de planos, segue que
Resposta
Portanto, se
e
, então
.