Prove que, se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro.

Passo 1

Resumindo o que queremos provar: temos dois planos alpha e beta tais que alphaparal<=lbeta. Mostraremos que, se um terceiro plano gamma é perpendicular a alpha, então gamma também é perpendicular a beta. O conteúdo é geometria no espaço, e vamos usar a interpretação vetorial de plano (normal ao plano) e as propriedades de paralelismo e perpendicularidade de vetores.

Passo 2

Definição vetorial de um plano: cada plano P pode ser associado a um vetor normal nP. Dois vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro, e são perpendiculares quando seu produto escalar é zero. Em geometria espacial, vale:
bul<=t Pparal<=l Q se e somente se nPparal<=lnQ.
bul<=t Pperp Q se e somente se nPperpnQ.

Passo 3

Como temos alphaparal<=lbeta, aplicando a primeira equivalência, concluímos que
nalpha paral<=l nbeta
Ou seja, existe escalar lambdaneq0 tal que
nbeta = lambda,nalpha

Passo 4

Por hipótese, o plano gamma é perpendicular a alpha. Usando a segunda equivalência, isso significa
ngamma perp nalpha,
ou seja,
ngamma cdot nalpha = 0

Passo 5

Agora, como nbeta é colinear com nalpha, qualquer vetor perpendicular a nalpha também é perpendicular a nbeta. Em símbolos:
ngamma cdot nbeta = ngamma cdot (lambda,nalpha) = lambda,(ngammacdotnalpha) = lambdacdot 0 = 0

Passo 6

Como ngamma cdot nbeta = 0, concluímos que ngammaperpnbeta. Pelo critério de perpendicularidade de planos, segue que
gamma perp beta

Resposta

Portanto, se alphaparal<=lbeta e gammaperpalpha, então gammaperpbeta.

Exercícios de Livros Relacionados