Prove as identidades abaixo.
1sec (x)+1+1sec (x)-1=2 cot (x) csc (x)

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar a identidade trigonométrica
1sec(x)+1+1sec(x)-1=2cot(x)csc(x)
Para isso vamos usar as definições fundamentais
sec(x)=1cos(x), cot(x)=cos(x)sin(x) e csc(x)=1sin(x), além da identidade 1-cos^2(x)=sin^2(x).

Passo 2

Começamos convertendo cada termo em função de sin e cos:
1sec(x)+1 =11cos(x)+1 =11+cos(x)cos(x) =cos(x)1+cos(x),
1sec(x)-1 =11cos(x)-1 =11-cos(x)cos(x) =cos(x)1-cos(x)
Logo a soma fica
cos(x)1+cos(x)+cos(x)1-cos(x)

Passo 3

Agora juntamos as duas frações sobre o mesmo denominador:
cos(x)1+cos(x)+cos(x)1-cos(x) =cos(x)l(1-cos(x)r)+cos(x)l(1+cos(x)r) (1+cos(x))(1-cos(x))
No numerador temos
cos(x)l(1-cos(x)r)+cos(x)l(1+cos(x)r) =cos(x)l(1-cos(x)+1+cos(x)r) =2cos(x),
e no denominador
(1+cos(x))(1-cos(x))=1-cos^2(x)
Portanto a soma é
2cos(x)1-cos^2(x)

Passo 4

Usando a identidade 1-cos^2(x)=sin^2(x), obtemos
2cos(x)1-cos^2(x) =2cos(x)sin^2(x) =2;cos(x)sin(x);1sin(x) =2cot(x)csc(x)
Isso coincide exatamente com o lado direito da identidade.

Resposta

1sec(x)+1+1sec(x)-1=2cot(x)csc(x)

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