Sabendo que tan (x)=raiz2 / 4 e que 0<x<90^circ, determine csc (x) usando identidades.
5. Simplifique as expressões. (Dica: quando possível, ponha algum termo em evidência.)
a) cos (x) tan (x)
b) sen(x)tan (x)
c) cot (x) sec (-x)
d) sen^2(x)-1cot (x)
e) sen(x)[1-cos ^2(x)]-2 sen^3(x)
f) 1csc ^2(x)+1sec ^2(x)
g) tan (x)sec (x)
h) [sen(x)+cos (x)]^2
i) tan (x) sen(x)-sec (x)
j) 1-sen(x)1-csc (x)
k) [cos ^2(x)-1][1+cot ^2(x)]
  1. sen^2(x)+cos ^2(x)+tan ^2(x)
    m) sen(x)[csc (x)-sen(x)]
    n) 1tan ^2(x)+1
    o) tan ^2(x)-tan ^2(x) sen^2(x)
    p) tan (pi2-x) tan (x)

Passo 1

O enunciado dá tan(x)=tfracraiz24 com 0<x<90^circ e pede csc(x) usando identidades trigonométricas. Depois, quer simplificar diversas expressões trigonométricas. Vamos usar a definição tan(x)=dfracsin(x)cos(x), a identidade de Pitágoras sin^2(x)+cos^2(x)=1 e relações como csc(x)=1/sin(x), sec(x)=1/cos(x), cot(x)=cos(x)/sin(x).

Passo 2

Para achar sin(x) e cos(x) montamos um triângulo retângulo: oposto = raiz2, adjacente = 4, hipotenusa =
raiz(raiz2)^2+4^2=raiz2+16=raiz18=3raiz2
Logo
sin(x)=raiz23raiz2=13, cos(x)=43raiz2=2raiz23

Passo 3

Agora
csc(x)=1sin(x)=3

Passo 4

a) cos(x)tan(x)=cos(x),sin(x)cos(x)=sin(x)
b) sin(x)tan(x)=sin(x)sin(x)/cos(x)=cos(x)
c) cot(x),sec(-x)=cos(x)sin(x)cdotsec(x)=1sin(x)=csc(x)
d) sin^2(x)-1cot(x)=-cos^2(x)cot(x)=-cos^2(x)tan(x)=-sin(x)cos(x)
e) sin(x)[1-cos^2(x)]-2sin^3(x)=sin(x)sin^2(x)-2sin^3(x)=-sin^3(x)
f) 1csc^2(x)+1sec^2(x)=sin^2(x)+cos^2(x)=1
g) tan(x)sec(x)=sin(x)/cos(x)1/cos(x)=sin(x)
h) [sin(x)+cos(x)]^2=sin^2(x)+2sin(x)cos(x)+cos^2(x)=1+2sin(x)cos(x)
i) tan(x)sin(x)-sec(x)=sin^2(x)cos(x)-1cos(x)=sin^2(x)-1cos(x)=-cos(x)
j) 1-sin(x)1-csc(x)=1-sin(x)1-1/sin(x)=1-sin(x)tfracsin(x)-1sin(x)=-sin(x)
k) [cos^2(x)-1][1+cot^2(x)]=(-sin^2(x))cdotcsc^2(x)=-1
l) sin^2(x)+cos^2(x)+tan^2(x)=1+tan^2(x)=sec^2(x)
m) sin(x)[csc(x)-sin(x)]=sin(x)l(tfrac1sin(x)-sin(x)r)=1-sin^2(x)=cos^2(x)
n) 1tan^2(x)+1=1sec^2(x)=cos^2(x)
o) tan^2(x)-tan^2(x)sin^2(x)=tan^2(x)l(1-sin^2(x)r)=tan^2(x)cos^2(x)=sin^2(x)
p) tanl(tfracpi2-xr)tan(x)=cot(x)tan(x)=1

Resposta

csc(x)=3
a) sin(x)
b) cos(x)
c) csc(x)
d) -sin(x)cos(x)
e) -sin^3(x)
f) 1
g) sin(x)
h) 1+2sin(x)cos(x)
i) -cos(x)
j) -sin(x)
k) -1
l) sec^2(x)
m) cos^2(x)
n) cos^2(x)
o) sin^2(x)
p) 1

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