Prove as identidades abaixo.
[2-tan (-x)][2-tan (x)]=5-sec ^2(-x)

Passo 1

O enunciado nos pede para provar a identidade trigonométrica
[2 - tan(-x)],[2 - tan(x)] ;=; 5 ;-;sec^2(-x)
Para isso vamos usar duas ideias principais:
  1. As propriedades de paridade de tangente e secante, isto é, tan(-x)=-tan(x) e sec(-x)=sec(x).
  2. A identidade pitagórica ,1+tan^2(x)=sec^2(x).

Passo 2

Aplicando tan(-x)=-tan(x) no primeiro fator do lado esquerdo:
2 - tan(-x) = 2 - l(-tan(x)r) = 2 + tan(x)
E também reconhecendo que sec^2(-x)=sec^2(x) no lado direito.

Passo 3

Substituindo essas relações, o lado esquerdo fica
[2 - tan(-x)],[2 - tan(x)] = (2 + tan(x)),(2 - tan(x))
e multiplicando em forma de diferença de quadrados, obtemos
(2 + tan(x)),(2 - tan(x)) = 4 - tan^2(x)

Passo 4

Do lado direito, usando sec^2(-x)=sec^2(x) e a identidade pitagórica:
5 - sec^2(-x) = 5 - sec^2(x) = 5 - l(1 + tan^2(x)r) = 4 - tan^2(x)

Passo 5

Vimos que tanto o lado esquerdo quanto o lado direito se reduzem a 4 - tan^2(x). Logo, a igualdade está comprovada.

Resposta

A identidade vale, pois
[2 - tan(-x)],[2 - tan(x)] = 4 - tan^2(x) = 5 - sec^2(-x)

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