Prove as identidades abaixo.
cot ^2(x)+1csc ^2(x)-1=sec ^2(x)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
cot^2(x)+1csc^2(x)-1 = sec^2(x)
O conteúdo usado será identidades trigonométricas pitagóricas e definições de funções recíprocas.

Passo 2

Lembramos da identidade pitagórica para cotangente e cossecante:
csc^2x = 1 + cot^2x
Subtraindo 1 de ambos os lados obtemos
csc^2x - 1 = cot^2x

Passo 3

No numerador temos cot^2x + 1, que pela mesma identidade é csc^2x. No denominador temos csc^2x - 1, que já vimos ser cot^2x. Assim a fração vira
cot^2x + 1csc^2x - 1 = csc^2xcot^2x

Passo 4

Agora usamos as definições
csc^2x = 1sin^2x, cot^2x = cos^2xsin^2x,
para reescrever
csc^2xcot^2x = 1sin^2xcos^2xsin^2x = 1sin^2x,cdot,sin^2xcos^2x = 1cos^2x

Passo 5

Por definição de secante,
1cos^2x = sec^2x
Isso mostra exatamente que
cot^2(x)+1csc^2(x)-1 = sec^2(x)

Resposta

sec^2(x)

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