Prove as identidades abaixo.
tan ^3(x)[cot ^2(x)+1]=sec ^2(x)cot (x)

Passo 1

Vamos provar a identidade
tan^3(x)l[cot^2(x)+1r]=dfracsec^2(x)cot(x)
usando definições recíprocas e identidades pitagóricas de trigonometria.

Passo 2

Aplicamos a identidade pitagórica para a cotangente:
1 + cot^2(x) = csc^2(x)

Passo 3

Substituindo em tan^3(x)l[cot^2(x)+1r], obtemos
tan^3(x),csc^2(x) e, como csc^2(x)=1sin^2(x),
temos
tan^3(x),csc^2(x) = tan^3(x)sin^2(x)

Passo 4

Escrevemos tan^3(x) em termos de seno e cosseno:
tan^3(x)=sin^3(x)cos^3(x),
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tan^3(x)sin^2(x) = sin^3(x)cos^3(x)cdot1sin^2(x) = sin(x)cos^3(x)

Passo 5

Reescrevemos dfracsin(x)cos^3(x) como produto de tan e sec:
sin(x)cos^3(x) = sin(x)cos(x)cdot1cos^2(x) = tan(x),sec^2(x)

Passo 6

Por fim, usamos a relação recíproca tan(x)=tfrac1cot(x), obtendo
tan(x),sec^2(x) = sec^2(x)cot(x),
que é exatamente o lado direito da identidade.

Resposta

A identidade está comprovada.

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