Prove as identidades abaixo.
[cot (x)+2 csc (x)]^2=[cos (x)+2]^2 csc ^2(x)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
[cot(x) + 2,csc(x)]^2 ;=; [cos(x) + 2]^2,csc^2(x)
O conteúdo da matéria é conversão de funções trigonométricas para senos e cossenos. Vamos usar as definições cot(x)=cos(x)sin(x) e csc(x)=1sin(x).

Passo 2

Escrevemos o lado esquerdo em termos de seno e cosseno:
cot(x) + 2,csc(x) = cos(x)sin(x) + 2sin(x) = cos(x) + 2sin(x)

Passo 3

Elevando ao quadrado esse resultado, obtemos
[cot(x) + 2,csc(x)]^2 = gl(cos(x) + 2sin(x)gr)^2 = l(cos(x) + 2r)^2sin^2(x)

Passo 4

Reconhecemos que 1sin^2(x)=csc^2(x). Logo,
l(cos(x) + 2r)^2sin^2(x) = [cos(x) + 2]^2,csc^2(x),
que é exatamente o lado direito da identidade.

Resposta

A identidade está provada, pois mostramos que ambos os lados se reduzem a
(cos(x)+2)^2sin^2(x),

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