Prove as identidades abaixo.
1-cot (x)+sen(-x) cos (pi2-x)+1csc ^2(x)-1=sen^2(x)-tan (x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
1-cot(x)+sen(-x),cos!l(pi2 - xr)+1csc^2(x)-1 ;=;sen^2(x)-tan(x)
O que faremos é simplificar o numerador e o denominador em termos de sen x e cos x, dividir e depois comparar com o lado direito.

Passo 2

Vamos ao numerador. Usamos
sen(-x) = -sen x e cos!l(tfracpi2 - xr) = sen x
Logo
sen(-x),cos!l(tfracpi2 - xr) = -sen xcdotsen x = -sen^2 x
Portanto o numerador fica
1 ;-;cot x;-;sen^2 x;+;1 =2 ;-;cot x;-;sen^2 x

Passo 3

O denominador é
csc^2(x)-1 = 1sen^2 x-1 = 1-sen^2 xsen^2 x = cos^2 xsen^2 x = cot^2 x

Passo 4

Nossa fração vira
2-cot x-sen^2 xcot^2 x = 2cot^2 x - cot xcot^2 x - sen^2 xcot^2 x
Cada termo:
2cot^2 x = 2tan^2 x, cot xcot^2 x = 1cot x = tan x, sen^2 xcot^2 x = sen^2 x;tan^2 x = sen^2 x;sen^2 xcos^2 x =sen^4 xcos^2 x
Assim o LHS simplifica para
2tan^2 x ;-;tan x;-;sen^4 xcos^2 x

Passo 5

Comparemos com o RHS, que é sen^2 x-tan x. Para a identidade ser válida, precisaríamos de
2tan^2 x - tan x - sen^4 xcos^2 x ;equiv;sen^2 x - tan x
Mas observe que o LHS contém o termo 2tan^2 x e -sen^4 x/cos^2 x, que não se anulam nem combinam para dar apenas sen^2 x. Aliás, escolhemos x=pi/6 como contra-exemplo numérico e achamos valores diferentes dos dois lados, confirmando que a igualdade não vale.

Resposta

A identidade dada é falsa: ao simplificar o LHS chegamos em
2tan^2 x - tan x - sen^4 xcos^2 x neq sen^2 x - tan x,
logo não há igualdade para todo x.

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