Prove as identidades abaixo.
sec ^4(x)-tan ^4(x)=2 sec ^2(x)-1

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
sec^4(x) ;-;tan^4(x) ;=;2,sec^2(x);-;1
O que vamos usar são duas ideias clássicas em trigonometria:
  1. A fatoração de diferença de quadrados
  2. A identidade de Pitágoras tan^2(x)+1=sec^2(x).

Passo 2

Aplique a fatoração de diferença de quadrados em sec^4(x)-tan^4(x):
sec^4(x)-tan^4(x) =(sec^2(x))^2-(tan^2(x))^2 =(sec^2(x)-tan^2(x)),(sec^2(x)+tan^2(x))

Passo 3

Use sec^2(x)=1+tan^2(x) para simplificar o primeiro fator:
sec^2(x)-tan^2(x) =(1+tan^2(x))-tan^2(x) =1

Passo 4

Ainda com tan^2(x)=sec^2(x)-1, simplifique o segundo fator:
sec^2(x)+tan^2(x) =sec^2(x)+(sec^2(x)-1) =2,sec^2(x)-1

Passo 5

Multiplique os dois resultados:
(sec^2(x)-tan^2(x)),(sec^2(x)+tan^2(x)) =1cdotl(2,sec^2(x)-1r) =2,sec^2(x)-1,
que é exatamente o lado direito da identidade.

Resposta

sec^4(x)-tan^4(x)=2,sec^2(x)-1

Exercícios de Livros Relacionados