Prove as identidades usando as fórmulas de arco duplo.
sen(2 x)cos (2 x)+1=tan (x)

Passo 1

O enunciado nos pede para provar a identidade trigonométrica usando fórmulas de arco duplo:
sin(2x)cos(2x)+1 = tan(x)
O que vamos precisar são as fórmulas de arco duplo para sin(2x) e cos(2x), e também a relação pitagórica entre sin^2 x e cos^2 x.

Passo 2

Para o numerador, aplicamos a fórmula de arco duplo para seno:
sin(2x) = 2sin xcos x

Passo 3

Para o denominador, usamos a fórmula de arco duplo para cosseno e a identidade pitagórica. Primeiro,
cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x
Somando 1 aos dois lados e usando sin^2 x + cos^2 x = 1, obtemos
cos(2x) + 1 = (cos^2 x - sin^2 x) + 1 = cos^2 x - sin^2 x + (sin^2 x + cos^2 x) = 2cos^2 x

Passo 4

Substituindo no quociente original:
sin(2x)cos(2x)+1 = 2sin xcos x2cos^2 x = sin xcos x = tan x,
válido sempre que cos xneq 0.

Resposta

sin(2x)cos(2x)+1 = tan(x)

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