Usando as identidades da soma de arcos e a identidade pitagórica, mostre que
tan (2 a)=2 tan (a)1-tan ^2(a)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a fórmula da tangente do dobro de um ângulo, ou seja
tan(2a)=2tan(a)1-tan^2(a),
usando as identidades de soma de arcos e a identidade pitagórica.

Passo 2

Recordamos as fórmulas de soma de arcos para seno e cosseno:
sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y, cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y
Tomando x=y=a, obtemos
sin(2a)=2sin acos a, cos(2a)=cos^2a-sin^2a

Passo 3

Pela definição de tangente,
tan(2a)=sin(2a)cos(2a) =2sin acos acos^2a-sin^2a

Passo 4

Para expressar isso em função de tan a, dividimos numerador e denominador por cos^2a e usamos
tan a=dfracsin acos a e a identidade pitagórica no formato
dfracsin^2acos^2a=tan^2a, dfraccos^2acos^2a=1. Assim,
tan(2a) =2sin acos a/cos^2a(cos^2a-sin^2a)/cos^2a =2tan a1-tan^2a

Resposta

tan(2a)=2tan(a)1-tan^2(a)

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