Prove as identidades usando as fórmulas de arco duplo.
sen(4 x)sen(x)=4 cos (x) cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
sin(4x)sin(x) = 4cos(x)cos(2x)
usando as fórmulas de arco duplo. O conteúdo da matéria é a fórmula do seno do dobro de um ângulo, que diz
sin(2alpha) = 2sin(alpha)cos(alpha)
Vamos aplicá-la primeiro em alpha=2x e depois em alpha=x.

Passo 2

Aplicando a fórmula de arco duplo em alpha=2x, temos
sin(4x) = sinl(2cdot 2xr) = 2,sin(2x),cos(2x)

Passo 3

Agora aplicamos a mesma fórmula em alpha = x:
sin(2x) = 2,sin(x),cos(x)

Passo 4

Substituindo a expressão de sin(2x) em sin(4x), fica
sin(4x) = 2 l(2,sin(x),cos(x)r)cos(2x) = 4,sin(x),cos(x),cos(2x)

Passo 5

Por fim, dividimos ambos os lados por sin(x) (supondo sin(x)neq 0) e obtemos
sin(4x)sin(x) = 4,cos(x),cos(2x)

Resposta

A identidade está demonstrada:
sin(4x)sin(x) = 4cos(x)cos(2x).

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