Resolva as equações abaixo, supondo que 0 <= x <= pi2.
sen(2 x)tan (x)+sen^2(x)=95

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
sen(2x)tan(x) + sen^2(x) = 95
no intervalo 0 <= x <= pi2. Vamos usar identidades trigonométricas básicas:
  • sen(2x) = 2sin(x)cos(x),
  • tan(x) = sin(x)cos(x),
  • sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Passo 2

Aplicando sen(2x)=2sin(x)cos(x) e tan(x)=sin(x)cos(x), temos
sen(2x)tan(x) = 2sin(x)cos(x)dfracsin(x)cos(x) =2cos^2(x)
Logo a equação fica
2cos^2(x)+sin^2(x)=95

Passo 3

Substituímos sin^2(x)=1-cos^2(x) na equação:
2cos^2(x)+(1-cos^2(x))=95 ;;Longrightarrow;; cos^2(x)+1=95

Passo 4

Isolando cos^2(x):
cos^2(x)=95-1=45

Passo 5

No intervalo 0<= x<= tfracpi2 temos cos(x)>=0, então
cos(x)=raiz45=2raiz5
Dessa forma
sin(x)=raiz1-cos^2(x) =raiz1-45 =1raiz5,
e
tan(x)=sin(x)cos(x) =tfrac1raiz5tfrac2raiz5 =12

Passo 6

A única solução em [0,pi/2] com tan(x)=tfrac12 é
x=arctan!l(tfrac12r),
que equivale a x=arccos!l(tfrac2raiz5r) ou x=arcsin!l(tfrac1raiz5r).

Resposta

x = arctan!l(tfrac12r)

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