Ex. 8.47 - Prove por indução as seguintes propriedades do somatório
\prod_{k=1}^{n}\left(c a_{n}\right)=c^{n} \prod_{k=1}^{n} a_{n}

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução, a seguinte propriedade de produto de uma sequência multiplicada por uma constante. A afirmação é:
\prod_{k=1}^{n}\bigl(c\,a_k\bigr)=c^n\prod_{k=1}^{n}a_k.
Conteúdo da matéria: princípio de indução matemática e manipulação de produtos. Vamos usar o caso base e o passo indutivo.

Passo 2

Caso base n=1. Avaliando cada lado da igualdade:
\prod_{k=1}^{1}(c\,a_k)=c\,a_1,
c^1\prod_{k=1}^{1}a_k=c\,a_1.
Como ambos são iguais a c\,a_1, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum n\ge1, já seja válida a igualdade
\prod_{k=1}^{n}(c\,a_k)=c^n\prod_{k=1}^{n}a_k.

Passo 4

Passo indutivo n\to n+1. Então
\prod_{k=1}^{n+1}(c\,a_k) =\Bigl(\prod_{k=1}^{n}(c\,a_k)\Bigr)\cdot(c\,a_{n+1})
pela propriedade de extensão do produto. Aplicando a hipótese de indução:
=c^n\prod_{k=1}^{n}a_k\;\cdot\;c\,a_{n+1} =c^{n+1}\prod_{k=1}^{n+1}a_k.
Portanto, a igualdade se mantém para n+1.

Resposta

A igualdade
\prod_{k=1}^{n}\bigl(c\,a_k\bigr)=c^n\prod_{k=1}^{n}a_k
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

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