Ex. 8.47 - Prove por indução as seguintes propriedades do somatório
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução, a seguinte propriedade de produto de uma sequência multiplicada por uma constante. A afirmação é:
Conteúdo da matéria: princípio de indução matemática e manipulação de produtos. Vamos usar o caso base e o passo indutivo.
Passo 2
Caso base
. Avaliando cada lado da igualdade:
Como ambos são iguais a
, a propriedade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que, para algum
, já seja válida a igualdade
Passo 4
Passo indutivo
. Então
pela propriedade de extensão do produto. Aplicando a hipótese de indução:
Portanto, a igualdade se mantém para
.
Resposta
A igualdade
é verdadeira para todo
.