Ex. 8.47 - Prove por indução as seguintes propriedades do somatório
\prod_{k=1}^{n} \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{a_{n}}{a_{0}}

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução que
\prod_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{a_{k-1}}=\frac{a_{n}}{a_{0}}.
O conteúdo é prova por indução matemática aplicada a um produto telescópico.

Passo 2

Base da indução n=1:
\prod_{k=1}^{1}\frac{a_{k}}{a_{k-1}} =\frac{a_{1}}{a_{0}}.
Como o lado direito da fórmula para n=1 também é \frac{a_{1}}{a_{0}}, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para um certo n\ge1, valha
\prod_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{a_{k-1}} =\frac{a_{n}}{a_{0}}.

Passo 4

Passo de indução n\to n+1:
\prod_{k=1}^{n+1}\frac{a_{k}}{a_{k-1}} =\Bigl(\prod_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{a_{k-1}}\Bigr)\times\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.
Pela hipótese de indução, o produto até n é \tfrac{a_{n}}{a_{0}}. Logo
\prod_{k=1}^{n+1}\frac{a_{k}}{a_{k-1}} =\frac{a_{n}}{a_{0}}\times\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{a_{n+1}}{a_{0}}.

Passo 5

Concluímos que, se a propriedade vale para n, ela vale para n+1. Como também vale para n=1, pelo princípio da indução ela vale para todo n\ge1.

Resposta

\prod_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{a_{k-1}} =\frac{a_{n}}{a_{0}},\quad\forall n\ge1.

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