Seja
a representação decimal em nosso sistema, de numeraçāo de um inteiro positivo
(portanto
). Prove que
é divisível por 7 se, e somente se,
é divisível por 7.
Passo 1
O enunciado nos dá um inteiro positivo
cuja representação decimal é
ou seja,
com
. Queremos provar o critério de divisibilidade por 7 que afirma
O conteúdo principal aqui é aritmética modular e uso de congruências para estabelecer o critério.
Passo 2
Na aritmética módulo 7 temos
Elevando ambos os lados à
-ésima potência, concluímos
Passo 3
Como
, o período de
módulo 7 é 6. Calculamos os primeiros resíduos:
e em seguida
, reiniciando o ciclo
.
Passo 4
Reescrevendo
e usando
, obtém-se
Pelo ciclo de
, esse somatório é exatamente
módulo 7.
Passo 5
Logo
o que implica que
é divisível por
se, e somente se, esse somatório ponderado dos dígitos for divisível por
.
Resposta
Mostramos que
portanto
é divisível por
exatamente quando
é divisível por
.