Seja ar ar-1 ldots a2 a1 a0 a representação decimal em nosso sistema, de numeraçāo de um inteiro positivo n (portanto 0 <= ai <= 9, i=0,1,2, ldots, r ). Prove que n é divisível por 7 se, e somente se,
a0+3 a1+2 a2-a3-3 a4-2 a5+a6+ldots
é divisível por 7.

Passo 1

O enunciado nos dá um inteiro positivo n cuja representação decimal é
n = arar-1dots a1a0
ou seja,
n = sumi=0^r ai,10^i,
com 0<= ai<=9. Queremos provar o critério de divisibilidade por 7 que afirma
n é mú<iplo de 7iff Sequiv a0+3a1+2a2-a3-3a4-2a5+a6+dots é mú<iplo de 7 éúéú
O conteúdo principal aqui é aritmética modular e uso de congruências para estabelecer o critério.

Passo 2

Na aritmética módulo 7 temos
10 equiv 3 pmod7
Elevando ambos os lados à i-ésima potência, concluímos
10^i equiv 3^i pmod7,forall i>=0

Passo 3

Como gcd(3,7)=1, o período de 3^i módulo 7 é 6. Calculamos os primeiros resíduos:
3^0equiv1, 3^1equiv3, 3^2equiv9equiv2, 3^3equiv6equiv-1, 3^4equiv-3, 3^5equiv-2 pmod7,
e em seguida 3^6equiv1, reiniciando o ciclo 1,3,2,-1,-3,-2.

Passo 4

Reescrevendo
n=sumi=0^rai,10^i
e usando 10^iequiv3^ipmod7, obtém-se
nequivsumi=0^rai,3^ipmod7
Pelo ciclo de 3^ibmod7, esse somatório é exatamente
a0+3a1+2a2-a3-3a4-2a5+a6+dots
módulo 7.

Passo 5

Logo
nequiv a0+3a1+2a2-a3-3a4-2a5+a6+dotspmod7,
o que implica que n é divisível por 7 se, e somente se, esse somatório ponderado dos dígitos for divisível por 7.

Resposta

Mostramos que
nequiv a0+3a1+2a2-a3-3a4-2a5+a6+dotspmod7,
portanto n é divisível por 7 exatamente quando
a0+3a1+2a2-a3-3a4-2a5+a6+dots
é divisível por 7.

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