Se 0<x<2 pi, determine o menor valor de x tal que: |ccc-sen x & -8 & -5 0 & -sen x & cotg x 0 & 0 & cos x|=0.

Passo 1

O enunciado pede o menor xin(0,2pi) tal que o determinante da matriz
-sin x & -8 & -5 0 & -sin x & cot x 0 & 0 & cos x
seja zero. O conteúdo chave aqui é que essa matriz é triangular superior, então seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Usando a propriedade de que para matriz triangular o determinante é o produto dos elementos da diagonal, temos
det = (-sin x);(-sin x);(cos x) =sin^2 x;cos x

Passo 3

Para zerar o determinante, basta resolver
sin^2 x;cos x = 0
Isso ocorre se, e somente se, sin^2 x=0 ou cos x=0.

Passo 4

1. sin^2 x=0 implica sin x=0, logo
x = 0,;pi,;2pi
Mas em (0,2pi) só vale x=pi.
2. cos x=0 implica
x = pi2,;3pi2
todas em (0,2pi).

Passo 5

Dos valores pi2,pi,3pi2, o menor em (0,2pi) é
x = pi2

Resposta

pi2

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