Prove que: \left|\begin{array}{cccccc} 2 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 2 \end{array}\right|=\mathrm{n}+1 Passo 1O enunciado pede para provar que a determinante da matriz tridiagonal de ordem n, com 2 na diagonal principal e 1 na sub- e sobre-diagonais, é n+1. O conteúdo usado será cálculo de determinantes via expansão por menores (recorrência). Passo 2Definimos D_n = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0\\\\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & \ddots & \vdots\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 1\\\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \end{pmatrix}_{n\times n}. Vamos primeiro calcular os casos iniciais: D_1 = \det(2) = 2, \quad D_2 = \det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&2\end{pmatrix} =2\cdot2 - 1\cdot1 = 3. Passo 3Para n\ge3, expandimos D_n pela última linha. Os únicos elementos não nulos na linha n são a_{n,n-1}=1 e a_{n,n}=2. Pelo sinal de cofator temos D_n =2\cdot D_{n-1} -1\cdot D_{n-2}. Assim obtivemos a relação de recorrência D_n = 2\,D_{n-1} - D_{n-2},\quad n\ge3. Passo 4Resolvemos a recorrência com os valores iniciais D_1=2, D_2=3. A equação característica é r^2 - 2r + 1 = 0, cuja raiz dupla é r=1. Logo a solução geral é D_n = A + B\,n. Usando D_1=A+B=2 e D_2=A+2B=3 segue B=1, A=1. Portanto D_n = 1 + n. Resposta D_n = n+1. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETACálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 155Ver Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados(FGV-19) Sejam A el matrizes quadradas de mesma ordem em que a segunda é a matriz identidade. Os autovalores da matriz A são as raízes do polinômio na variável \mathrm{x}, \operatorname{det}(\mathrm{A}-\mathrm{x} . \mathrm{I}), em que \operatorname{det}(A-x . I) é o determinante da matriz A - x.I. Os autovalores da matriz \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 4 & 3\end{array}\right] tem por soma e produto, respectivamente: a) 5 e 2 b) 3 e 4 c) 4 e 3 d) 2 e 5 e) le 6 (IME-07) Considere as matrizes \mathrm{A}= \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4}\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right], c seja P uma matriz inversivel tal que B=P^{-1} A P. Sendo n um número natural, calcule o determinante da matriz A^{n}. (ITA-04) Considere as alírmações dadas a seguir, em que A é uma matriz. quadrada n \times n, n \geq 2 : l - O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula. Il - Se \mathrm{A}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right) é tal que \mathrm{a}_{\mathrm{ij}}=0 para \mathrm{i}> j, \operatorname{com} i, j=1,2, \ldots, n, entảo det A=a_{11} a_{22} \ldots a_{n n}. III - Se B for obtida de A. multiplicandose a primeira coluna por \sqrt{2}+1 e a segunda por \sqrt{2}-1, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B=\operatorname{det} A. Então, podemos alirmar que ė (são) verdadeira(s). (IME-04 CG) Determine para que valores de \alpha o determinante abaixo se anula. \left|\begin{array}{ccc} \operatorname{sen} 2 \alpha & 0 & 0 \\\ \cos 2 \alpha & \cos \alpha & \operatorname{sen} \alpha \\\ \cos 2 \alpha & \operatorname{sen} \alpha & \cos \alpha \end{array}\right| Ver TambémVer Livro Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição