Prove que:
\left|\begin{array}{cccccc} 2 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 2 \end{array}\right|=\mathrm{n}+1

Passo 1

O enunciado pede para provar que a determinante da matriz tridiagonal de ordem n, com 2 na diagonal principal e 1 na sub- e sobre-diagonais, é n+1.
O conteúdo usado será cálculo de determinantes via expansão por menores (recorrência).

Passo 2

Definimos
D_n = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0\\\\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & \ddots & \vdots\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 1\\\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \end{pmatrix}_{n\times n}.
Vamos primeiro calcular os casos iniciais:
D_1 = \det(2) = 2, \quad D_2 = \det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&2\end{pmatrix} =2\cdot2 - 1\cdot1 = 3.

Passo 3

Para n\ge3, expandimos D_n pela última linha. Os únicos elementos não nulos na linha n são a_{n,n-1}=1 e a_{n,n}=2. Pelo sinal de cofator temos
D_n =2\cdot D_{n-1} -1\cdot D_{n-2}.
Assim obtivemos a relação de recorrência
D_n = 2\,D_{n-1} - D_{n-2},\quad n\ge3.

Passo 4

Resolvemos a recorrência com os valores iniciais D_1=2, D_2=3. A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0,
cuja raiz dupla é r=1. Logo a solução geral é
D_n = A + B\,n.
Usando D_1=A+B=2 e D_2=A+2B=3 segue B=1, A=1. Portanto
D_n = 1 + n.

Resposta

D_n = n+1.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados