(ITA-04) Considere as alírmações dadas a seguir, em que A é uma matriz. quadrada
:
l - O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.
Il - Se
é tal que
para
, entảo det
.
III - Se B for obtida de A. multiplicandose a primeira coluna por
e a
segunda por
, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det
.
Então, podemos alirmar que ė (são) verdadeira(s).
l - O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.
Il - Se
III - Se B for obtida de A. multiplicandose a primeira coluna por
segunda por
Então, podemos alirmar que ė (são) verdadeira(s).
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre uma matriz quadrada
de ordem
e pede para determinar quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar propriedades de determinante: critério de nulidade, determinante de matriz triangular e efeito de multiplicar colunas por escalares.
Passo 2
Analisando a afirmação I: “
se e somente se
possui uma linha ou uma coluna nula.”
– Se uma linha ou coluna de for nula, de fato
.
– Contudo, significa apenas que as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes, não necessariamente que exista linha ou coluna completamente nula.
Logo, I é falsa.
– Se uma linha ou coluna de
– Contudo,
Logo, I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação II: “Se
satisfaz
para
, então
.”
Como para
,
é triangular superior. Uma propriedade clássica diz que o determinante de matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Logo, II é verdadeira.
Como
Logo, II é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação III: “Se
é obtida de
multiplicando-se a primeira coluna por
e a segunda por
, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então
.”
Multiplicar colunas por escalares e
faz
. Aqui
Multiplicar colunas por escalares
logo
.
Assim, III é verdadeira.
Assim, III é verdadeira.
Passo 5
Das três afirmações, apenas II e III são verdadeiras.
Resposta
II e III são verdadeiras.