(ITA-04) Considere as alírmações dadas a seguir, em que A é uma matriz. quadrada n \times n, n \geq 2 :
l - O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.
Il - Se \mathrm{A}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right) é tal que \mathrm{a}_{\mathrm{ij}}=0 para \mathrm{i}> j, \operatorname{com} i, j=1,2, \ldots, n, entảo det A=a_{11} a_{22} \ldots a_{n n}.
III - Se B for obtida de A. multiplicandose a primeira coluna por \sqrt{2}+1 e a
segunda por \sqrt{2}-1, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B=\operatorname{det} A.
Então, podemos alirmar que ė (são) verdadeira(s).

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre uma matriz quadrada A de ordem n\ge2 e pede para determinar quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar propriedades de determinante: critério de nulidade, determinante de matriz triangular e efeito de multiplicar colunas por escalares.

Passo 2

Analisando a afirmação I: “ \det A=0 se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.”
– Se uma linha ou coluna de A for nula, de fato \det A=0.
– Contudo, \det A=0 significa apenas que as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes, não necessariamente que exista linha ou coluna completamente nula.
Logo, I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação II: “Se A=(a_{ij}) satisfaz a_{ij}=0 para i>j, então \det A=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.”
Como a_{ij}=0 para i>j, A é triangular superior. Uma propriedade clássica diz que o determinante de matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Logo, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação III: “Se B é obtida de A multiplicando-se a primeira coluna por \sqrt{2}+1 e a segunda por \sqrt{2}-1, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então \det B=\det A.”
Multiplicar colunas por escalares c e d faz \det B=c\,d\,\det A. Aqui
c=\sqrt{2}+1,\quad d=\sqrt{2}-1,\quad c\,d=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1,
logo \det B=1\cdot\det A=\det A.
Assim, III é verdadeira.

Passo 5

Das três afirmações, apenas II e III são verdadeiras.

Resposta

II e III são verdadeiras.
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