Prove que:
|llll1 & 1 & 1 & 1 1 & r & r^2 & r^3 1 & r^2 & r^3 & r^4 1 & r^3 & r^4 & r^5|=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
M = 1 & 1 & 1 & 1 1 & r & r^2 & r^3 1 & r^2 & r^3 & r^4 1 & r^3 & r^4 & r^5
é zero.
Conteúdo envolvido: determinantes e operações elementares em linhas para evidenciar dependência linear entre as linhas.

Passo 2

Aplicamos operações de linha que não alteram a nulidade do determinante, subtraindo cada linha da seguinte:
L2 L2 - L1,
L3 L3 - L2 (orig.),
L4 L4 - L3 (orig.).
Isso produz a matriz equivalente
1 & 1 & 1 & 1 0 & r-1 & r^2-1 & r^3-1 0 & r^2-r & r^3-r^2 & r^4-r^3 0 & r^3-r^2 & r^4-r^3 & r^5-r^4

Passo 3

Note que em cada uma das linhas 2, 3 e 4 aparece fator comum (r-1). Fatoramos:
r^2-1 = (r-1)(r+1), r^3-1 = (r-1)(r^2+r+1),
r^2-r = r(r-1), r^3-r^2=r^2(r-1), r^4-r^3=r^3(r-1),
r^3-r^2=r^2(r-1), r^4-r^3=r^3(r-1), r^5-r^4=r^4(r-1)
Assim, extraímos (r-1) de cada uma dessas três linhas, o que multiplica o determinante por (r-1)^3. A matriz fica
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & r+1 & r^2+r+1 0 & r & r^2 & r^3 0 & r^2 & r^3 & r^4 ,
e temos
det M = (r-1)^3 det 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & r+1 & r^2+r+1 0 & r & r^2 & r^3 0 & r^2 & r^3 & r^4

Passo 4

Expandindo o determinante pela primeira coluna (cofactor de 1 na posição (1,1)), sobra o determinante do menor 3times3:
det M = (r-1)^3 det 1 & r+1 & r^2+r+1 r & r^2 & r^3 r^2 & r^3 & r^4
Nesse menor, subtraia r vezes a primeira linha da segunda linha:
l(r^2,r^3,r^4r) - rcdotl(r,r^2,r^3r) = (0,0,0)
Isso faz com que o menor 3times3 seja zero, logo det M=0.

Resposta

0

Exercícios de Livros Relacionados