Calcule as primeiras quatro derivadas de y=e^1 / x.

Passo 1

O enunciado pede as quatro primeiras derivadas de
y = e^1/x
O conteúdo envolvido é derivação de função composta e produto: vamos usar a regra da cadeia para derivar e^u(x) e, a partir da segunda derivada, a regra do produto sempre que aparecer um fator em x multiplicando e^1/x.

Passo 2

Primeiro definimos u(x)=1/x. Então
y = e^u(x),
e por regra da cadeia
y' = e^u(x)cdot u'(x) = e^1/xcdotl(-tfrac1x^2r) = -,1x^2,e^1/x

Passo 3

Para a segunda derivada escrevemos
y' = -,x^-2,e^1/x
e aplicamos produto: seja A(x)=-x^-2 e B(x)=e^1/x. Então
A'(x)=2x^-3, B'(x)=e^1/xcdotl(-tfrac1x^2r)=-x^-2e^1/x
Logo
y'' = A'B + A B' = 2x^-3e^1/x + (-x^-2)(-x^-2e^1/x) = l(2x^-3+x^-4r)e^1/x = 2x+1x^4,e^1/x

Passo 4

Para a terceira derivada usamos
y'' = l(2x^-3+x^-4r)e^1/x
Seja C(x)=2x^-3+x^-4. Então
C'(x) = -6x^-4-4x^-5 = -,6x^2+6x+1x^5, B'(x)=-x^-2e^1/x
Pelo produto,
y''' = C'B + C B' = -,6x^2+6x+1x^5,e^1/x + l(2x^-3+x^-4r)l(-x^-2e^1/xr) = -,6x^2+6x+1x^6,e^1/x

Passo 5

Para a quarta derivada partimos de
y''' = -l(6x^-4+6x^-5+x^-6r)e^1/x
Chamando D(x)=-(6x^-4+6x^-5+x^-6) e usando D'(x)=24x^-5+30x^-6+6x^-7, mais B'(x)=-x^-2e^1/x, obtemos
y'''' = D'B + D B' = l(24x^-5+30x^-6+6x^-7r)e^1/x + l(-6x^-4-6x^-5-x^-6r)(-x^-2e^1/x)
= l(24x^-5+36x^-6+12x^-7+x^-8r)e^1/x = 24x^3+36x^2+12x+1x^8,e^1/x

Resposta

y' = -dfrac1x^2e^1/x
y'' = dfrac2x+1x^4e^1/x
y''' = -,dfrac6x^2+6x+1x^6e^1/x
y'''' = dfrac24x^3+36x^2+12x+1x^8e^1/x

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