Prove que se
é uma matriz nilpotente, então
e
são inversiveis.
Dica: prove que todos os autovalores de A sào nulos.
Dica: prove que todos os autovalores de A sào nulos.
Passo 1
Resumindo: temos uma matriz
nilpotente, ou seja, existe
tal que
Queremos provar que as matrizes
e
são inversíveis. Vamos usar dois fatos principais da teoria de autovalores:
- Se
é autovalor de , então , de onde . - Uma matriz é inversível se e somente se nenhum de seus autovalores é zero.
Passo 2
Prova de que todos os autovalores de
são zero.
Se é autovalor de
, existe vetor não nulo
tal que
Se
Aplicando
nesse vetor, obtemos
Como
, segue
, logo
.
Passo 3
Critério de inversibilidade em termos de autovalores.
Uma matriz é inversível se e somente se nenhum dos seus autovalores é zero (equivalente a
).
Uma matriz
Passo 4
Aplicando o critério a
e
.
- Os autovalores de
são , com , logo todos iguais a . - Os autovalores de
são , com , logo todos iguais a .
Em ambos os casos, não há autovalor zero, entãoe são inversíveis.
Passo 5
(Complemento opcional) Fórmulas explícitas para as inversas via série finita:
pois, por nilpotência, termos a partir de
somam zero e fecham a série.
Resposta
As matrizes
e
são inversíveis.