Prove que se A é uma matriz nilpotente, então A+I e A-I são inversiveis.
Dica: prove que todos os autovalores de A sào nulos.

Passo 1

Resumindo: temos uma matriz A\in\mathbb{K}^{n\times n} nilpotente, ou seja, existe k\in\mathbb{N} tal que
A^k = 0.
Queremos provar que as matrizes A+I e A-I são inversíveis. Vamos usar dois fatos principais da teoria de autovalores:
  1. Se \lambda é autovalor de A, então \lambda^k=0, de onde \lambda=0.
  2. Uma matriz é inversível se e somente se nenhum de seus autovalores é zero.

Passo 2

Prova de que todos os autovalores de A são zero.
Se \lambda é autovalor de A, existe vetor não nulo v tal que
A v = \lambda v.
Aplicando A^k=0 nesse vetor, obtemos
0 = A^k v = A^{k-1}(A v) = A^{k-1}(\lambda v) = \lambda\,A^{k-1}v = \cdots = \lambda^k v.
Como v\neq0, segue \lambda^k=0, logo \lambda=0.

Passo 3

Critério de inversibilidade em termos de autovalores.
Uma matriz M é inversível se e somente se nenhum dos seus autovalores é zero (equivalente a \det(M)\neq0).

Passo 4

Aplicando o critério a A+I e A-I.
  • Os autovalores de A+I são \lambda+1, com \lambda=0, logo todos iguais a 1\neq0.
  • Os autovalores de A-I são \lambda-1, com \lambda=0, logo todos iguais a -1\neq0.
    Em ambos os casos, não há autovalor zero, então A+I e A-I são inversíveis.

Passo 5

(Complemento opcional) Fórmulas explícitas para as inversas via série finita:
(A+I)^{-1} \;=\; I - A + A^2 - A^3 + \cdots + (-1)^{k-1}A^{k-1},
(A-I)^{-1} \;=\; I + A + A^2 + \cdots + A^{k-1},
pois, por nilpotência, termos a partir de A^k somam zero e fecham a série.

Resposta

As matrizes A+I e A-I são inversíveis.

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