Prove que e^ln sen x / cos x=tan x.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que
e^ln(sin x)cos x ;=;tan x
O conteúdo principal aqui são as propriedades de logaritmo e exponencial (funções inversas) e a definição de tangente em termos de seno e cosseno.

Passo 2

Para qualquer y>0 vale
e^ln(y) = y,
pois a função exponencial é a inversa do logaritmo natural.

Passo 3

No nosso caso tomamos y = sin x. Como estamos assumindo sin x>0 (para que ln(sin x) esteja definido), podemos aplicar a propriedade:
e^ln(sin x) = sin x

Passo 4

Substituindo isso na expressão original, obtemos
e^ln(sin x)cos x = sin xcos x

Passo 5

Pela definição de tangente,
tan x = sin xcos x
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sin xcos x = tan x

Resposta

e^ln(sin x)cos x = tan x

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