Prove que, se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então ele é perpendicular à interseção desses planos.
Passo 1
O enunciado fala de três planos em
: um plano
que é perpendicular a dois planos secantes
e
, cujas interseção é a reta
. Queremos provar que
é perpendicular a
.
Conteúdo: geometria do espaço, definição de perpendicularidade entre planos e entre reta e plano.
Conteúdo: geometria do espaço, definição de perpendicularidade entre planos e entre reta e plano.
Passo 2
Pela definição em geometria do espaço, “dois planos são perpendiculares” significa que a reta de interseção de um com o outro é perpendicular a um (e portanto a todos) os segmentos desse plano que passem pelo ponto de interseção.
Então, como , a reta
Então, como
é tal que
.
Analogamente, como , a reta
Analogamente, como
é tal que
.
Passo 3
Note que a reta de interseção
pertence simultaneamente a
e a
. Em particular,
intersecta
num ponto
(pois
e ambas passam por
). No ponto
, como
, ela é perpendicular a toda reta de
que passe por
. Como
e passa por
, segue que
Mas
, logo em
existe uma reta (
) perpendicular a
. Isso satisfaz a definição de “reta perpendicular a um plano”: se numa reta contida em
há perpendicularidade a
, então
.
Resposta
Logo, o plano
é perpendicular à reta
.