Prove que, se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então ele é perpendicular à interseção desses planos.

Passo 1

O enunciado fala de três planos em R^3: um plano pi que é perpendicular a dois planos secantes alpha e beta, cujas interseção é a reta r=alphacapbeta. Queremos provar que pi é perpendicular a r.
Conteúdo: geometria do espaço, definição de perpendicularidade entre planos e entre reta e plano.

Passo 2

Pela definição em geometria do espaço, “dois planos são perpendiculares” significa que a reta de interseção de um com o outro é perpendicular a um (e portanto a todos) os segmentos desse plano que passem pelo ponto de interseção.
Então, como piperpalpha, a reta
s ;=;picapalpha
é tal que sperpalpha.
Analogamente, como piperpbeta, a reta
t ;=;picapbeta
é tal que tperpbeta.

Passo 3

Note que a reta de interseção r=alphacapbeta pertence simultaneamente a alpha e a beta. Em particular, r intersecta s num ponto P (pois ssubsetalpha e ambas passam por alphacappi). No ponto P, como sperpalpha, ela é perpendicular a toda reta de alpha que passe por P. Como rsubsetalpha e passa por P, segue que
s;perp;rem (P)
Mas ssubsetpi, logo em pi existe uma reta ( s) perpendicular a r. Isso satisfaz a definição de “reta perpendicular a um plano”: se numa reta contida em pi há perpendicularidade a r, então piperp r.

Resposta

Logo, o plano pi é perpendicular à reta r=alphacapbeta.

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