Prove que um quadrilátero reverso não é paralelogramo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um quadrilátero reverso — isto é, um quadrilátero cujos lados se cruzam internamente — não pode ser um paralelogramo. Vamos usar as definições de quadrilátero reverso e de paralelogramo, e uma propriedade fundamental de segmentos paralelos.
Passo 2
Definimos quadrilátero reverso como um polígono de quatro vértices
em que, ao percorrer na ordem
, um par de lados não-adjacentes se intersecta no interior de ambos. Por exemplo, os segmentos
e
cruzam-se em um ponto
distinto dos vértices.
Passo 3
Definimos paralelogramo como um quadrilátero simples (não há auto-interseção) cujos lados opostos são paralelos:
Uma consequência básica do paralelismo é que dois segmentos paralelos e distintos não podem ter ponto de interseção.
Passo 4
Suponha, por contradição, que o quadrilátero reverso
seja um paralelogramo. Então teríamos
Mas, por hipótese de quadrilátero reverso,
e
se cruzam em um ponto interior
. Isso contradiz o fato de que segmentos paralelos não se encontram. Logo, não é possível conciliar auto-interseção com paralelismo de lados opostos.
Resposta
Não existe paralelogramo que seja ao mesmo tempo quadrilátero reverso, pois a auto-interseção de lados opostos contradiz o paralelismo.