Prove que um quadrilátero reverso não é paralelogramo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um quadrilátero reverso — isto é, um quadrilátero cujos lados se cruzam internamente — não pode ser um paralelogramo. Vamos usar as definições de quadrilátero reverso e de paralelogramo, e uma propriedade fundamental de segmentos paralelos.

Passo 2

Definimos quadrilátero reverso como um polígono de quatro vértices A,B,C,D em que, ao percorrer na ordem Ato Bto Cto Dto A, um par de lados não-adjacentes se intersecta no interior de ambos. Por exemplo, os segmentos AB e CD cruzam-se em um ponto P distinto dos vértices.

Passo 3

Definimos paralelogramo como um quadrilátero simples (não há auto-interseção) cujos lados opostos são paralelos:
AB paral<=l CD e BC paral<=l AD
Uma consequência básica do paralelismo é que dois segmentos paralelos e distintos não podem ter ponto de interseção.

Passo 4

Suponha, por contradição, que o quadrilátero reverso ABCD seja um paralelogramo. Então teríamos
AB paral<=l CD
Mas, por hipótese de quadrilátero reverso, AB e CD se cruzam em um ponto interior P. Isso contradiz o fato de que segmentos paralelos não se encontram. Logo, não é possível conciliar auto-interseção com paralelismo de lados opostos.

Resposta

Não existe paralelogramo que seja ao mesmo tempo quadrilátero reverso, pois a auto-interseção de lados opostos contradiz o paralelismo.

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