Prove que qualquer paralelogramo circunscrito a uma circunferência é losango.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se um paralelogramo admite uma circunferência inscrita (isto é, fica “ao redor” da circunferência, tocando-a em cada lado), então esse paralelogramo tem todos os lados iguais, ou seja, é um losango. O conteúdo que vamos usar é a propriedade dos segmentos tangentes a uma circunferência: de um mesmo ponto exterior à circunferência, os dois segmentos que ligam esse ponto aos pontos de tangência têm comprimentos iguais.

Passo 2

Vamos chamar o paralelogramo de ABCD e a circunferência inscrita toca os lados AB, BC, CD e DA nos pontos E, F, G e H, respectivamente. Como AE e AH saem do ponto A até os pontos de tangência, temos
AE = AH
Do mesmo modo, as tangentes que partem de B satisfazem
BE = BF,
as de C têm
CF = CG,
e as de D têm
DG = DH

Passo 3

Agora expressamos cada lado do paralelogramo em função dessas quatro quantidades. Denotemos
AE = AH = p, BE = BF = q, CF = CG = r, DG = DH = s
Então
AB = AE + BE = p + q,
BC = BF + CF = q + r,
CD = CG + DG = r + s,
DA = DH + AH = s + p

Passo 4

Como ABCD é um paralelogramo, sabemos que AB = CD e BC = DA. Substituindo as expressões acima, obtemos o sistema
p + q = r + s,
q + r = s + p

Passo 5

Somando as duas igualdades, dá
(p + q) + (q + r) = (r + s) + (s + p) Longrightarrow p + 2q + r = p + 2s + r Longrightarrow 2q = 2s Longrightarrow q = s
Substituindo q=s em p+q=r+s, vem
p + q = r + q Longrightarrow p = r

Passo 6

Agora temos p=r e q=s. Voltando aos comprimentos dos lados:
AB = p + q, BC = q + r = q + p, CD = r + s = p + q, DA = s + p = q + p
Portanto
AB = BC = CD = DA,
o que mostra que o paralelogramo é um losango.

Resposta

Qualquer paralelogramo circunscrito a uma circunferência é losango, pois os seus quatro lados ficam todos iguais.

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