Prove que qualquer paralelogramo circunscrito a uma circunferência é losango.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se um paralelogramo admite uma circunferência inscrita (isto é, fica “ao redor” da circunferência, tocando-a em cada lado), então esse paralelogramo tem todos os lados iguais, ou seja, é um losango. O conteúdo que vamos usar é a propriedade dos segmentos tangentes a uma circunferência: de um mesmo ponto exterior à circunferência, os dois segmentos que ligam esse ponto aos pontos de tangência têm comprimentos iguais.
Passo 2
Vamos chamar o paralelogramo de
e a circunferência inscrita toca os lados
,
,
e
nos pontos
,
,
e
, respectivamente. Como
e
saem do ponto
até os pontos de tangência, temos
Do mesmo modo, as tangentes que partem de
satisfazem
as de
têm
e as de
têm
Passo 3
Agora expressamos cada lado do paralelogramo em função dessas quatro quantidades. Denotemos
Então
Passo 4
Como
é um paralelogramo, sabemos que
e
. Substituindo as expressões acima, obtemos o sistema
Passo 5
Somando as duas igualdades, dá
Substituindo
em
, vem
Passo 6
Agora temos
e
. Voltando aos comprimentos dos lados:
Portanto
o que mostra que o paralelogramo é um losango.
Resposta
Qualquer paralelogramo circunscrito a uma circunferência é losango, pois os seus quatro lados ficam todos iguais.