Prove que qualquer paralelogramo circunscrito a uma circunferência é losango.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se um paralelogramo admite uma circunferência inscrita (isto é, fica “ao redor” da circunferência, tocando-a em cada lado), então esse paralelogramo tem todos os lados iguais, ou seja, é um losango. O conteúdo que vamos usar é a propriedade dos segmentos tangentes a uma circunferência: de um mesmo ponto exterior à circunferência, os dois segmentos que ligam esse ponto aos pontos de tangência têm comprimentos iguais.

Passo 2

Vamos chamar o paralelogramo de AE = AH e a circunferência inscrita toca os lados BE = BF, , CF = CG, , DG = DH e nos pontos , , e , respectivamente. Como e saem do ponto até os pontos de tangência, temos
Do mesmo modo, as tangentes que partem de satisfazem
as de têm
e as de têm

Passo 3

Agora expressamos cada lado do paralelogramo em função dessas quatro quantidades. Denotemos
AE = AH = p, BE = BF = q, CF = CG = r, DG = DH = s
Então
AB = AE + BE = p + q,
BC = BF + CF = q + r,
CD = CG + DG = r + s,
DA = DH + AH = s + p

Passo 4

Como p + q = r + s, é um paralelogramo, sabemos que q + r = s + p e . Substituindo as expressões acima, obtemos o sistema

Passo 5

Somando as duas igualdades, dá
(p + q) + (q + r) = (r + s) + (s + p) Longrightarrow p + 2q + r = p + 2s + r Longrightarrow 2q = 2s Longrightarrow q = s
Substituindo p + q = r + q Longrightarrow p = r em , vem

Passo 6

Agora temos AB = p + q, BC = q + r = q + p, CD = r + s = p + q, DA = s + p = q + p e AB = BC = CD = DA, . Voltando aos comprimentos dos lados:
Portanto
o que mostra que o paralelogramo é um losango.

Resposta

Qualquer paralelogramo circunscrito a uma circunferência é losango, pois os seus quatro lados ficam todos iguais.

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