Prove que retas paralelas distintas, secantes com uma circunferência, determinam na circunferência, entre as paralelas, arcos de mesma medida.

Passo 1

Vamos chamar de r e s as duas retas paralelas distintas, e de Gamma a circunferência. Como ambas são secantes, r corta Gamma nos pontos A e B, e s nos pontos C e D. Os arcos que ficam “entre” r e s são então o arco widehatAC (ligando o ponto de interseção de uma reta ao de outra, pela esquerda, digamos) e o arco widehatBD (pela direita). Queremos mostrar
med(widehatAC) ;=;med(widehatBD),
O conteúdo principal que vamos usar é o fato de que inscribed angles iguais subtendem arcos de mesma medida, e que parallel lines determinam ângulos alternos internos iguais quando cruzadas por uma transversal.

Passo 2

Escolhemos duas retas transversais à família r,s que cortem ambas e também Gamma. Concretamente, seja a reta m que passa pelos pontos Ain r e Cin s, e a reta n que passa pelos pontos Bin r e Din s. Então
  • m corta Gamma exatamente em A e C,
  • n corta Gamma exatamente em B e D.
Assim, os arcos internos à região entre r e s são justamente widehatAC e widehatBD.

Passo 3

Considere o ponto de interseção X=mcap n. Ele não pertence a Gamma mas é exterior à região entre os arcos widehatAC e widehatBD. Olhe para os dois ângulos inscritos em Gamma com vértice em X:
alpha = ang<= AXC e beta = ang<= BXD
— O ângulo alpha intercepta na circunferência o arco widehatAC.
— O ângulo beta intercepta na circunferência o arco widehatBD.
Como Ain r e Bin r, o segmento AB está em r; e como Cin s e Din s, o segmento CD está em s. Mas rparal<=l s, logo
AB;paral<=l;CD
Agora note que as retas m e n são transversais ao par de retas paralelas AB,CD. Portanto, por serem alternos internos, temos
alpha = ang<= AXC ;=; ang<= BXD ;=; beta

Passo 4

Como alpha e beta são ângulos inscritos na mesma circunferência e são iguais, eles subtendem arcos de mesma medida. Logo
med(widehatAC) = 2alpha = 2beta = med(widehatBD)

Resposta

Os arcos da circunferência que ficam entre as paralelas r e s têm medida igual, isto é,
med(widehatAC) = med(widehatBD)

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