Prove que retas paralelas distintas, secantes com uma circunferência, determinam na circunferência, entre as paralelas, arcos de mesma medida.
Passo 1
Vamos chamar de e as duas retas paralelas distintas, e de a circunferência. Como ambas são secantes, corta nos pontos e , e nos pontos e . Os arcos que ficam “entre” e são então o arco (ligando o ponto de interseção de uma reta ao de outra, pela esquerda, digamos) e o arco (pela direita). Queremos mostrar
O conteúdo principal que vamos usar é o fato de que inscribed angles iguais subtendem arcos de mesma medida, e que parallel lines determinam ângulos alternos internos iguais quando cruzadas por uma transversal.
Passo 2
Escolhemos duas retas transversais à família que cortem ambas e também . Concretamente, seja a reta que passa pelos pontos e , e a reta que passa pelos pontos e . Então
corta exatamente em e ,
corta exatamente em e .
Assim, os arcos internos à região entre e são justamente e .
Passo 3
Considere o ponto de interseção . Ele não pertence a mas é exterior à região entre os arcos e . Olhe para os dois ângulos inscritos em com vértice em :
— O ângulo intercepta na circunferência o arco .
— O ângulo intercepta na circunferência o arco .
Como e , o segmento está em r; e como Cin s e Din s, o segmento CD está em s. Mas rparal<=l s, logo
AB;paral<=l;CD
Agora note que as retas m e n são transversais ao par de retas paralelas AB,CD. Portanto, por serem alternos internos, temos
alpha = ang<= AXC ;=; ang<= BXD ;=; beta
Passo 4
Como alpha e beta são ângulos inscritos na mesma circunferência e são iguais, eles subtendem arcos de mesma medida. Logo
med(widehatAC) = 2alpha = 2beta = med(widehatBD)
Resposta
Os arcos da circunferência que ficam entre as paralelas r e s têm medida igual, isto é,
med(widehatAC) = med(widehatBD)
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 407